4.4: Ortogonalidad y Normalización

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Considera la serie

\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}\bigg[a_n\cos\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg) + b_n\sin\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\bigg], \hspace{3cm} -L \leq x \leq L. \nonumber \]

A esto se le llama serie trigonométrica. Si la serie se aproxima a una función f (como se discutirá) se denomina serie de Fourier y a y b son los coeficientes de Fourier de f.

Para que todo esto tenga sentido, primero estudiamos las funciones

\[\{1,\cos\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg), \sin\bigg( \frac{n\pi x}{L}\bigg)\}, \hspace{3 cm} n=1,2,\dots, \nonumber \]

y especialmente sus propiedades en proceso de integración. Nos encontramos con que

\[ \int_{-L}^L 1\cdot 1 dx = 2L, \nonumber \]

\[ \int_{-L}^L 1 \cdot \cos\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg) dx = 0 \nonumber \]

\[ \int_{-L}^L 1 \cdot \sin\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg) dx = 0 \nonumber \]

\[ \begin{align} \int_{-L}^L \cos\bigg(\frac{m\pi x}{L}\bigg) \cdot \cos\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg) dx & = \frac{1}{2}\int_{-L}^L \cos\bigg(\frac{(m+n)\pi x}{L}\bigg) + \cos\bigg(\frac{(m-n)\pi x}{L}\bigg) dx\\ & = \bigg\{ \begin{array}{lr} 0 & \mbox{if } n \leq m \\ L & \mbox{if } n=m \end{array}\end{align}, \nonumber \]

\[ \begin{align} \int_{-L}^L \sin\bigg(\frac{m\pi x}{L}\bigg) \cdot \sin\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg) dx & = \frac{1}{2}\int_{-L}^L \cos\bigg(\frac{(m+n)\pi x}{L}\bigg) + \cos\bigg(\frac{(m-n)\pi x}{L}\bigg) dx\\ & = \bigg\{ \begin{array}{lr} 0 & \mbox{if } n \leq m \\ L & \mbox{if } n=m \end{array}\end{align}, \nonumber \]

\[\begin{align} \int_{-L}^L \cos\bigg(\frac{m\pi x}{L}\bigg) \cdot \sin\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg) dx & = \frac{1}{2}\int_{-L}^L \cos\bigg(\frac{(m+n)\pi x}{L}\bigg) + \cos\bigg(\frac{(m-n)\pi x}{L}\bigg) dx\\ & = \bigg\{ \begin{array}{lr} 0 & \mbox{if } n \leq m \\ L & \mbox{if } n=m \end{array} \end{align}, \nonumber \]

Si consideramos estas integrales como algún tipo de producto interno entre funciones (como el producto interno del vector estándar) vemos que podríamos llamar ortogonales a estas funciones. Esta es, de hecho, una práctica estándar, donde para las funciones la definición general de producto interno toma la forma

\[(f,g) = \int_a^b w(x)f(x)g(x)dx. \nonumber \]

Si esto es cero decimos que las funciones f y g son ortogonales en el intervalo [a b] con la función de peso w. Si esta función es 1, como es el caso de las funciones trigonométricas, solo decimos que las funciones son ortogonales en [a b].

La norma de una función se define ahora como la raíz cuadrada del producto interno de una función consigo misma (nuevamente, como en el caso de los vectores),

\[ \norm{f} = \sqrt{\int_a^b w(x)f(x)^2dx}. \nonumber \]

Si definimos una forma normalizada de f (como un vector unitario) como\( f/\norm{f}\), tenemos

\[ \norm{\frac{f}{\norm{f}}} = \sqrt{\frac{\int_a^bw(x)f(x)^2dx}{\norm{f}^2}}=\frac{\sqrt{\int_a^b w(x)f(x)^2dx}}{\norm{f}}=\frac{\norm{f}}{\norm{f}}=1. \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Cuál es la forma normalizada de\(\big\{1, \cos\big(\frac{n\pi x}{L}\big), \sin\big(\frac{n\pi x}{L}\big)\big\}?\)

Contestar: \( \big\{\frac{1}{\sqrt{2L}}, \big(\frac{1}{\sqrt{L}}\big)\cos\big(\frac{n \pi x}{L}\big),\big(\frac{1}{\sqrt{L}}\big)\sin\big(\frac{n \pi x}{L}\big) \big\}\)

Un conjunto de funciones mutuamente ortogonales que están todas normalizadas se denomina conjunto ortonormal.