4.1: Tarifas Relacionadas
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- Encontrar relaciones entre los derivados en un problema dado.
- Utilice la regla de la cadena para encontrar la tasa de cambio de una cantidad que depende de la tasa de cambio de otras cantidades.
Hemos visto que para las cantidades que van cambiando con el tiempo, las tasas a las que cambian estas cantidades vienen dadas por derivados. Si dos cantidades relacionadas están cambiando con el tiempo, se relacionan las tarifas a las que cambian las cantidades. Por ejemplo, si un globo se está llenando de aire, tanto el radio del globo como el volumen del globo van aumentando. En esta sección, consideramos varios problemas en los que dos o más cantidades relacionadas están cambiando y estudiamos cómo determinar la relación entre las tasas de cambio de estas cantidades.
Configuración de Problemas de Tarifas Relacionadas
En muchas aplicaciones del mundo real, las cantidades relacionadas están cambiando con respecto al tiempo. Por ejemplo, si volvemos a considerar el ejemplo del globo, podemos decir que la tasa de cambio en el volumen,\(V\), está relacionada con la tasa de cambio en el radio,\(r\). En este caso, decimos eso\(\frac{dV}{dt}\) y\(\frac{dr}{dt}\) son tarifas relacionadas porque\(V\) está relacionado con\(r\). Aquí estudiamos varios ejemplos de cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo y analizamos cómo calcular una tasa de cambio dada otra tasa de cambio.
Un globo esférico se está llenando de aire a la velocidad constante de\(2\,\text{cm}^3\text{/sec}\) (Figura\(\PageIndex{1}\)). ¿Qué tan rápido aumenta el radio cuando el radio es\(3\) cm?
Solución
El volumen de una esfera de\(r\) centímetros de radio es
\(V=\frac{4}{3}πr^3\,\text{cm}^3.\)
Dado que el globo se está llenando de aire, tanto el volumen como el radio son funciones del tiempo. Por lo tanto,\(t\) segundos después de comenzar a llenar el globo de aire, el volumen de aire en el globo es
\(V(t)=\frac{4}{3}π\big[r(t)\big]^3\text{cm}^3.\)
Diferenciando ambos lados de esta ecuación con respecto al tiempo y aplicando la regla de la cadena, vemos que la tasa de cambio en el volumen está relacionada con la tasa de cambio en el radio por la ecuación
\(V'(t)=4π\big[r(t)\big]^2r′(t).\)
El globo se está llenando de aire a la velocidad constante de\(2 \,\text{cm}^3\text{/sec}\), entonces\(V'(t)=2\,\text{cm}^3\text{/sec}\). Por lo tanto,
\(2\,\text{cm}^3\text{/sec}=\Big(4π\big[r(t)\big]^2\;\text{cm}^2\Big)⋅\Big(r'(t)\;\text{cm/s}\Big),\)
lo que implica
\(r'(t)=\dfrac{1}{2π\big[r(t)\big]^2}\;\text{cm/sec}\).
Cuando el radio\(r=3\) cm,
\(r'(t)=\dfrac{1}{18π}\;\text{cm/sec}.\)
¿Cuál es la tasa instantánea de cambio del radio cuando\(r=6\) cm?
- Pista
-
\(\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{2πr^2}\)
- Contestar
-
\(\frac{1}{72π}\)cm/s, o aproximadamente 0.0044 cm/s
Antes de ver otros ejemplos, describamos la estrategia de resolución de problemas que usaremos para resolver problemas de tasas relacionadas.
- Asignar símbolos a todas las variables involucradas en el problema. Dibuje una cifra si corresponde.
- Estado, en términos de las variables, la información que se da y la tasa a determinar.
- Encuentre una ecuación que relacione las variables introducidas en el paso 1.
- Usando la regla de la cadena, diferenciar ambos lados de la ecuación encontrada en el paso 3 con respecto a la variable independiente. Esta nueva ecuación relacionará las derivadas.
- Sustituya todos los valores conocidos en la ecuación del paso 4, luego resuelva la tasa de cambio desconocida
Tenga en cuenta que al resolver un problema de tasas relacionadas, es crucial no sustituir los valores conocidos demasiado pronto. Por ejemplo, si el valor de una cantidad cambiante se sustituye en una ecuación antes de que se diferencien ambos lados de la ecuación, entonces esa cantidad se comportará como una constante y su derivada no aparecerá en la nueva ecuación que se encuentra en el paso 4. Examinamos este error potencial en el siguiente ejemplo.
Ejemplos del Proceso
Ahora implementemos la estrategia que acabamos de describir para resolver varios problemas de tasas relacionadas. El primer ejemplo consiste en un avión que vuela por encima. La relación que estamos estudiando es entre la velocidad del avión y la velocidad a la que está cambiando la distancia entre el avión y una persona en el suelo.
Un avión está volando por encima a una elevación constante de\(4000\) pies. Un hombre está viendo el avión desde una posición a\(3000\) pies de la base de una torre de radio. El avión vuela horizontalmente alejándose del hombre. Si el avión vuela a una velocidad de\(600\) pies/seg, ¿a qué velocidad aumenta la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión pasa sobre la torre de radio?
Solución
Paso 1. Dibuja un cuadro, introduciendo variables para representar las diferentes cantidades involucradas.
Como se muestra,\(x\) denota la distancia entre el hombre y la posición en el suelo directamente debajo del avión. La variable\(s\) denota la distancia entre el hombre y el plano. Tenga en cuenta que ambos\(x\) y\(s\) son funciones del tiempo. No introducimos una variable para la altura del plano porque se mantiene a una elevación constante de\(4000\) pies. Dado que la altura de un objeto sobre el suelo se mide como la distancia más corta entre el objeto y el suelo, el segmento de línea de 4000 pies de longitud es perpendicular al segmento de línea de\(x\) pies de longitud, creando un triángulo rectángulo.
Paso 2. Dado que\(x\) denota la distancia horizontal entre el hombre y el punto en el suelo por debajo del plano,\(dx/dt\) representa la velocidad del plano. Nos dicen que la velocidad del avión es\(600\) pies/seg. Por lo tanto,\(\frac{dx}{dt}=600\) pies/seg. Ya que se nos pide encontrar la tasa de cambio en la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión está directamente por encima de la torre de radio, necesitamos encontrar\(ds/dt\) cuando\(x=3000\) ft.
Paso 3. A partir de la figura, podemos usar el teorema de Pitágoras para escribir una ecuación relacionando\(x\) y\(s\):
\([x(t)]^2+4000^2=[s(t)]^2.\)
Paso 4. Diferenciando esta ecuación con respecto al tiempo y utilizando el hecho de que la derivada de una constante es cero, llegamos a la ecuación
\[x\frac{dx}{dt}=s\frac{ds}{dt}.\nonumber \]
Paso 5. Encuentra la velocidad a la que aumenta la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión está directamente sobre la torre de radio. Es decir, encontrar\(\frac{ds}{dt}\) cuando\(x=3000\) ft. Ya que la velocidad del avión es de\(600\) pies/seg, sabemos que\(\frac{dx}{dt}=600\) pies/seg. No se nos da un valor explícito para\(s\); sin embargo, ya que estamos tratando de encontrar\(\frac{ds}{dt}\) cuando\(x=3000\) ft, podemos usar el teorema de Pitágoras para determinar la distancia\(s\) cuando\(x=3000\) ft y la altura es\(4000\) ft. Resolviendo la ecuación
\(3000^2+4000^2=s^2\)
para\(s\), tenemos\(s=5000\) ft en el momento de interés. Usando estos valores, concluimos que\(ds/dt\)
es una solución de la ecuación
\((3000)(600)=(5000)⋅\dfrac{ds}{dt}\).
Por lo tanto,
\(\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{3000⋅600}{5000}=360\,\text{ft/sec}.\)
Nota: Al resolver problemas de tasas relacionadas, es importante no sustituir los valores por las variables demasiado pronto. Por ejemplo, en el paso 3, relacionamos las cantidades variables\(x(t)\) y\(s(t)\) por la ecuación
\([x(t)]^2+4000^2=[s(t)]^2.\)
Dado que el plano permanece a una altura constante, no es necesario introducir una variable para la altura, y se nos permite usar la constante 4000 para denotar esa cantidad. Sin embargo, las otras dos cantidades están cambiando. Si hubiéramos sustituido erróneamente\(x(t)=3000\) en la ecuación antes de diferenciarnos, nuestra ecuación habría sido
\(3000^2+4000^2=[s(t)]^2.\)
Después de diferenciar, nuestra ecuación se convertiría
\(0=s(t)\dfrac{ds}{dt}.\)
Como resultado, concluiríamos incorrectamente que\(\frac{ds}{dt}=0.\)
¿Cuál es la velocidad del avión si la distancia entre la persona y el avión aumenta a razón de\(300\) pies/seg?
- Pista
-
\(\dfrac{ds}{dt}=300\)pies/seg
- Contestar
-
\(500\)pies/seg
Ahora volvemos al problema que implica el lanzamiento del cohete desde el inicio del capítulo.
Se lanza un cohete para que se eleve verticalmente. Una cámara se coloca a\(5000\) pies de la plataforma de lanzamiento. Cuando el cohete está a\(1000\) pies por encima de la plataforma de lanzamiento, su velocidad es\(600\) pies/seg.
Encuentra la tasa de cambio necesaria del ángulo de la cámara en función del tiempo para que se mantenga enfocada en el cohete.
Solución
Paso 1. Dibuja un dibujo introduciendo las variables.
Dejar\(h\) denotar la altura del cohete por encima de la plataforma de lanzamiento y\(θ\) ser el ángulo entre la lente de la cámara y el suelo.
Paso 2. Estamos tratando de encontrar la tasa de cambio en el ángulo de la cámara con respecto al tiempo en que el cohete está a 1000 pies del suelo. Es decir, tenemos que encontrar\(\frac{dθ}{dt}\) cuando\(h=1000\) ft. En ese momento, sabemos que la velocidad del cohete es\(\frac{dh}{dt}=600\) pies/seg.
Paso 3. Ahora necesitamos encontrar una ecuación que relacione las dos cantidades que están cambiando con respecto al tiempo:\(h\) y\(θ\). ¿Cómo podemos crear tal ecuación? Utilizando el hecho de que hemos dibujado un triángulo rectángulo, es natural pensar en las funciones trigonométricas. Recordemos que\(\tan θ\) es la relación entre la longitud del lado opuesto del triángulo y la longitud del lado adyacente. Por lo tanto, tenemos
\(\tan θ=\dfrac{h}{5000}\).
Esto nos da la ecuación
\(h=5000\tan θ.\)
Paso 4. Diferenciando esta ecuación con respecto al tiempo\(t\), obtenemos
\(\dfrac{dh}{dt}=5000\sec^2θ\dfrac{dθ}{dt}\).
Paso 5. Queremos encontrar\(\frac{dθ}{dt}\) cuando\(h=1000\) ft. En este momento, sabemos que\(\frac{dh}{dt}=600\) pies/seg. Tenemos que determinar\(\sec^2θ\). Recordemos que\(\sec θ\) es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del lado adyacente. Sabemos que la longitud del lado adyacente es\(5000\) ft. Para determinar la longitud de la hipotenusa utilizamos el teorema de Pitágoras, donde la longitud de una pierna es\(5000\) ft, la longitud de la otra pierna es\(h=1000\) ft, y la longitud de la hipotenusa es\(c\) pies como se muestra en la siguiente figura.
Vemos que
\(1000^2+5000^2=c^2\)
y concluimos que la hipotenusa es
\(c=1000\sqrt{26}\,\text{ft}.\)
Por lo tanto, cuando\(h=1000,\) tenemos
\(\sec^2θ=\left(\dfrac{1000\sqrt{26}}{5000}\right)^2=\dfrac{26}{25}.\)
Recordemos del paso 4 que la ecuación relativa\(\frac{dθ}{dt}\) a nuestros valores conocidos es
\(\dfrac{dh}{dt}=5000\sec^2θ\dfrac{dθ}{dt}.\)
Cuando\(h=1000\) ft, sabemos que\(\frac{dh}{dt}=600\) pies/seg y\(\sec^2θ=\frac{26}{25}\). Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, llegamos a la ecuación
\(600=5000\left(\frac{26}{25}\right)\dfrac{dθ}{dt}\).
Por lo tanto,\(\dfrac{dθ}{dt}=\dfrac{3}{26}\) rad/sec.
¿Qué tasa de cambio es necesaria para el ángulo de elevación de la cámara si la cámara se coloca en el suelo a una distancia de\(4000\) pies de la plataforma de lanzamiento y la velocidad del cohete es\(500\) pies/seg cuando el cohete está a\(2000\) pies del suelo?
- Pista
-
Encuentra\(\frac{dθ}{dt}\) cuando\(h=2000\) ft. En ese momento,\(\frac{dh}{dt}=500\) pies/seg.
- Contestar
-
\(\frac{1}{10}\)rad/seg
En el siguiente ejemplo, consideramos que el agua drena de un embudo en forma de cono. Comparamos la velocidad a la que disminuye el nivel de agua en el cono con la velocidad a la que disminuye el volumen de agua.
El agua está drenando desde el fondo de un embudo en forma de cono a la velocidad de\(0.03\,\text{ft}^3\text{/sec}\). La altura del embudo es\(2\) ft y el radio en la parte superior del embudo es\(1\) ft. ¿A qué velocidad cambia la altura del agua en el embudo cuando la altura del agua es\(\frac{1}{2}\) ft?
Solución
Paso 1: Dibuja una imagen introduciendo las variables.
Dejar\(h\) denotar la altura del agua en el embudo, r denotar el radio del agua en su superficie, y\(V\) denotar el volumen del agua.
Paso 2: Necesitamos determinar\(\frac{dh}{dt}\) cuándo\(h=\frac{1}{2}\) ft. Sabemos que\(\frac{dV}{dt}=−0.03\) pies/seg.
Paso 3: El volumen de agua en el cono es
\(V=\frac{1}{3}πr^2h.\)
De la figura, vemos que tenemos triángulos similares. Por lo tanto, la relación de los lados en los dos triángulos es la misma. Por lo tanto,\(\frac{r}{h}=\frac{1}{2}\) o\(r=\frac{h}{2}.\) Usando este hecho, la ecuación para el volumen puede simplificarse a
\(V=\frac{1}{3}π\left(\frac{h}{2}\right)^2h=\frac{π}{12}h^3\).
Paso 4: Aplicando la regla de la cadena mientras se diferencian ambos lados de esta ecuación con respecto al tiempo\(t\), obtenemos
\[\frac{dV}{dt}=\frac{π}{4}h^2\frac{dh}{dt}.\nonumber \]
Paso 5: Queremos encontrar\(\frac{dh}{dt}\) cuando\(h=\frac{1}{2}\) ft. Ya que el agua está saliendo a la velocidad de\(0.03\,\text{ft}^3\text{/sec}\), eso lo sabemos\(\frac{dV}{dt}=−0.03\,\text{ft}^3\text{/sec}\). Por lo tanto,
\[−0.03=\frac{π}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^2\dfrac{dh}{dt},\nonumber \]
lo que implica
\[−0.03=\frac{π}{16}\dfrac{dh}{dt}.\nonumber \]
De ello se deduce que
\[\dfrac{dh}{dt}=−\frac{0.48}{π}=−0.153\,\text{ft/sec}.\nonumber \]
¿A qué velocidad cambia la altura del agua cuando la altura del agua es\(\frac{1}{4}\) ft?
- Pista
-
Tenemos que encontrar\(\frac{dh}{dt}\) cuándo\(h=\frac{1}{4}.\)
- Contestar
-
\(−0.61\)pies/seg
Conceptos clave
- Para resolver un problema de tarifas relacionadas, primero dibuje una imagen que ilustre la relación entre las dos o más cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo.
- En cuanto a las cantidades, indicar la información dada y la tasa a encontrar.
- Encuentra una ecuación que relacione las cantidades.
- Utilizar la diferenciación, aplicando la regla de la cadena según sea necesario, para encontrar una ecuación que relacione las tasas.
- Asegúrese de no sustituir una cantidad variable por una de las variables hasta después de encontrar una ecuación que relacione las tasas.
Glosario
- tarifas relacionadas
- son tasas de cambio asociadas con dos o más cantidades relacionadas que cambian con el tiempo