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LibreTexts Español

4.1: Tarifas Relacionadas

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Expresar cantidades cambiantes en términos de derivados.
  • Encontrar relaciones entre los derivados en un problema dado.
  • Utilice la regla de la cadena para encontrar la tasa de cambio de una cantidad que depende de la tasa de cambio de otras cantidades.

Hemos visto que para las cantidades que van cambiando con el tiempo, las tasas a las que cambian estas cantidades vienen dadas por derivados. Si dos cantidades relacionadas están cambiando con el tiempo, se relacionan las tarifas a las que cambian las cantidades. Por ejemplo, si un globo se está llenando de aire, tanto el radio del globo como el volumen del globo van aumentando. En esta sección, consideramos varios problemas en los que dos o más cantidades relacionadas están cambiando y estudiamos cómo determinar la relación entre las tasas de cambio de estas cantidades.

Configuración de Problemas de Tarifas Relacionadas

En muchas aplicaciones del mundo real, las cantidades relacionadas están cambiando con respecto al tiempo. Por ejemplo, si volvemos a considerar el ejemplo del globo, podemos decir que la tasa de cambio en el volumen,V, está relacionada con la tasa de cambio en el radio,r. En este caso, decimos esodVdt ydrdt son tarifas relacionadas porqueV está relacionado conr. Aquí estudiamos varios ejemplos de cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo y analizamos cómo calcular una tasa de cambio dada otra tasa de cambio.

Ejemplo4.1.1: Inflating a Balloon

Un globo esférico se está llenando de aire a la velocidad constante de2cm3/sec (Figura4.1.1). ¿Qué tan rápido aumenta el radio cuando el radio es3 cm?

Se muestran tres globos en los Tiempos 1, 2 y 3. Estos globos aumentan en volumen y radio a medida que aumenta el tiempo.
Figura4.1.1: A medida que el globo se está llenando de aire, tanto el radio como el volumen van aumentando con respecto al tiempo.

Solución

El volumen de una esfera der centímetros de radio es

V=43πr3cm3.

Dado que el globo se está llenando de aire, tanto el volumen como el radio son funciones del tiempo. Por lo tanto,t segundos después de comenzar a llenar el globo de aire, el volumen de aire en el globo es

V(t)=43π[r(t)]3cm3.

Diferenciando ambos lados de esta ecuación con respecto al tiempo y aplicando la regla de la cadena, vemos que la tasa de cambio en el volumen está relacionada con la tasa de cambio en el radio por la ecuación

V(t)=4π[r(t)]2r(t).

El globo se está llenando de aire a la velocidad constante de2cm3/sec, entoncesV(t)=2cm3/sec. Por lo tanto,

2cm3/sec=(4π[r(t)]2cm2)(r(t)cm/s),

lo que implica

r(t)=12π[r(t)]2cm/sec.

Cuando el radior=3 cm,

r(t)=118πcm/sec.

Ejercicio4.1.1

¿Cuál es la tasa instantánea de cambio del radio cuandor=6 cm?

Pista

drdt=12πr2

Contestar

172πcm/s, o aproximadamente 0.0044 cm/s

Antes de ver otros ejemplos, describamos la estrategia de resolución de problemas que usaremos para resolver problemas de tasas relacionadas.

Estrategia de Resolución de Problemas: Resolver un Problema de Tasas Relacionadas
  1. Asignar símbolos a todas las variables involucradas en el problema. Dibuje una cifra si corresponde.
  2. Estado, en términos de las variables, la información que se da y la tasa a determinar.
  3. Encuentre una ecuación que relacione las variables introducidas en el paso 1.
  4. Usando la regla de la cadena, diferenciar ambos lados de la ecuación encontrada en el paso 3 con respecto a la variable independiente. Esta nueva ecuación relacionará las derivadas.
  5. Sustituya todos los valores conocidos en la ecuación del paso 4, luego resuelva la tasa de cambio desconocida

Tenga en cuenta que al resolver un problema de tasas relacionadas, es crucial no sustituir los valores conocidos demasiado pronto. Por ejemplo, si el valor de una cantidad cambiante se sustituye en una ecuación antes de que se diferencien ambos lados de la ecuación, entonces esa cantidad se comportará como una constante y su derivada no aparecerá en la nueva ecuación que se encuentra en el paso 4. Examinamos este error potencial en el siguiente ejemplo.

Ejemplos del Proceso

Ahora implementemos la estrategia que acabamos de describir para resolver varios problemas de tasas relacionadas. El primer ejemplo consiste en un avión que vuela por encima. La relación que estamos estudiando es entre la velocidad del avión y la velocidad a la que está cambiando la distancia entre el avión y una persona en el suelo.

Ejemplo4.1.2: An Airplane Flying at a Constant Elevation

Un avión está volando por encima a una elevación constante de4000 pies. Un hombre está viendo el avión desde una posición a3000 pies de la base de una torre de radio. El avión vuela horizontalmente alejándose del hombre. Si el avión vuela a una velocidad de600 pies/seg, ¿a qué velocidad aumenta la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión pasa sobre la torre de radio?

Solución

Paso 1. Dibuja un cuadro, introduciendo variables para representar las diferentes cantidades involucradas.

Se hace un triángulo rectángulo con una persona en el suelo, un avión en el aire y una torre de radio en ángulo recto en el suelo. La hipotenusa es s, la distancia en el suelo entre la persona y la torre de radio es x, y el lado opuesto a la persona (es decir, la altura desde el suelo hasta el avión) es de 4000 pies.
Figura4.1.2: Un avión está volando a una altura constante de4000 pies. La distancia entre la persona y el avión y la persona y el lugar en el suelo directamente debajo del avión están cambiando. Denotamos esas cantidades con las variabless yx, respectivamente.

Como se muestra,x denota la distancia entre el hombre y la posición en el suelo directamente debajo del avión. La variables denota la distancia entre el hombre y el plano. Tenga en cuenta que ambosx ys son funciones del tiempo. No introducimos una variable para la altura del plano porque se mantiene a una elevación constante de4000 pies. Dado que la altura de un objeto sobre el suelo se mide como la distancia más corta entre el objeto y el suelo, el segmento de línea de 4000 pies de longitud es perpendicular al segmento de línea dex pies de longitud, creando un triángulo rectángulo.

Paso 2. Dado quex denota la distancia horizontal entre el hombre y el punto en el suelo por debajo del plano,dx/dt representa la velocidad del plano. Nos dicen que la velocidad del avión es600 pies/seg. Por lo tanto,dxdt=600 pies/seg. Ya que se nos pide encontrar la tasa de cambio en la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión está directamente por encima de la torre de radio, necesitamos encontrards/dt cuandox=3000 ft.

Paso 3. A partir de la figura, podemos usar el teorema de Pitágoras para escribir una ecuación relacionandox ys:

[x(t)]2+40002=[s(t)]2.

Paso 4. Diferenciando esta ecuación con respecto al tiempo y utilizando el hecho de que la derivada de una constante es cero, llegamos a la ecuación

xdxdt=sdsdt.

Paso 5. Encuentra la velocidad a la que aumenta la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión está directamente sobre la torre de radio. Es decir, encontrardsdt cuandox=3000 ft. Ya que la velocidad del avión es de600 pies/seg, sabemos quedxdt=600 pies/seg. No se nos da un valor explícito paras; sin embargo, ya que estamos tratando de encontrardsdt cuandox=3000 ft, podemos usar el teorema de Pitágoras para determinar la distancias cuandox=3000 ft y la altura es4000 ft. Resolviendo la ecuación

30002+40002=s2

paras, tenemoss=5000 ft en el momento de interés. Usando estos valores, concluimos queds/dt

es una solución de la ecuación

(3000)(600)=(5000)dsdt.

Por lo tanto,

dsdt=30006005000=360ft/sec.

Nota: Al resolver problemas de tasas relacionadas, es importante no sustituir los valores por las variables demasiado pronto. Por ejemplo, en el paso 3, relacionamos las cantidades variablesx(t) ys(t) por la ecuación

[x(t)]2+40002=[s(t)]2.

Dado que el plano permanece a una altura constante, no es necesario introducir una variable para la altura, y se nos permite usar la constante 4000 para denotar esa cantidad. Sin embargo, las otras dos cantidades están cambiando. Si hubiéramos sustituido erróneamentex(t)=3000 en la ecuación antes de diferenciarnos, nuestra ecuación habría sido

30002+40002=[s(t)]2.

Después de diferenciar, nuestra ecuación se convertiría

0=s(t)dsdt.

Como resultado, concluiríamos incorrectamente quedsdt=0.

Ejercicio4.1.2

¿Cuál es la velocidad del avión si la distancia entre la persona y el avión aumenta a razón de300 pies/seg?

Pista

dsdt=300pies/seg

Contestar

500pies/seg

Ahora volvemos al problema que implica el lanzamiento del cohete desde el inicio del capítulo.

Ejemplo4.1.3: Chapter Opener - A Rocket Launch

Se lanza un cohete para que se eleve verticalmente. Una cámara se coloca a5000 pies de la plataforma de lanzamiento. Cuando el cohete está a1000 pies por encima de la plataforma de lanzamiento, su velocidad es600 pies/seg.

Una foto de un cohete levantándose.
Figura4.1.3: (crédito: modificación de obra de Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)

Encuentra la tasa de cambio necesaria del ángulo de la cámara en función del tiempo para que se mantenga enfocada en el cohete.

Solución

Paso 1. Dibuja un dibujo introduciendo las variables.

Se forma un triángulo rectángulo con una cámara en uno de los ángulos no rectos y un cohete en el otro ángulo no recto. El ángulo con la cámara tiene medida θ. La distancia desde el cohete hasta el suelo es h; tenga en cuenta que este es el lado opuesto al ángulo con la medida θ. El lado adyacente al ángulo con la medida θ es de 5000 pies.
Figura4.1.4: Se coloca una cámara a5000 pies de la plataforma de lanzamiento del cohete. La altura del cohete y el ángulo de la cámara están cambiando con respecto al tiempo. Denotamos esas cantidades con las variablesh yθ, respectivamente.

Dejarh denotar la altura del cohete por encima de la plataforma de lanzamiento yθ ser el ángulo entre la lente de la cámara y el suelo.

Paso 2. Estamos tratando de encontrar la tasa de cambio en el ángulo de la cámara con respecto al tiempo en que el cohete está a 1000 pies del suelo. Es decir, tenemos que encontrardθdt cuandoh=1000 ft. En ese momento, sabemos que la velocidad del cohete esdhdt=600 pies/seg.

Paso 3. Ahora necesitamos encontrar una ecuación que relacione las dos cantidades que están cambiando con respecto al tiempo:h yθ. ¿Cómo podemos crear tal ecuación? Utilizando el hecho de que hemos dibujado un triángulo rectángulo, es natural pensar en las funciones trigonométricas. Recordemos quetanθ es la relación entre la longitud del lado opuesto del triángulo y la longitud del lado adyacente. Por lo tanto, tenemos

tanθ=h5000.

Esto nos da la ecuación

h=5000tanθ.

Paso 4. Diferenciando esta ecuación con respecto al tiempot, obtenemos

dhdt=5000sec2θdθdt.

Paso 5. Queremos encontrardθdt cuandoh=1000 ft. En este momento, sabemos quedhdt=600 pies/seg. Tenemos que determinarsec2θ. Recordemos quesecθ es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del lado adyacente. Sabemos que la longitud del lado adyacente es5000 ft. Para determinar la longitud de la hipotenusa utilizamos el teorema de Pitágoras, donde la longitud de una pierna es5000 ft, la longitud de la otra pierna esh=1000 ft, y la longitud de la hipotenusa esc pies como se muestra en la siguiente figura.

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo con la medida θ. La hipotenusa es c, la longitud del lado opuesto al ángulo con la medida θ es 1000, y el lado adyacente al ángulo con la medida θ es 5000.

Vemos que

10002+50002=c2

y concluimos que la hipotenusa es

c=100026ft.

Por lo tanto, cuandoh=1000, tenemos

sec2θ=(1000265000)2=2625.

Recordemos del paso 4 que la ecuación relativadθdt a nuestros valores conocidos es

dhdt=5000sec2θdθdt.

Cuandoh=1000 ft, sabemos quedhdt=600 pies/seg ysec2θ=2625. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, llegamos a la ecuación

600=5000(2625)dθdt.

Por lo tanto,dθdt=326 rad/sec.

Ejercicio4.1.3

¿Qué tasa de cambio es necesaria para el ángulo de elevación de la cámara si la cámara se coloca en el suelo a una distancia de4000 pies de la plataforma de lanzamiento y la velocidad del cohete es500 pies/seg cuando el cohete está a2000 pies del suelo?

Pista

Encuentradθdt cuandoh=2000 ft. En ese momento,dhdt=500 pies/seg.

Contestar

110rad/seg

En el siguiente ejemplo, consideramos que el agua drena de un embudo en forma de cono. Comparamos la velocidad a la que disminuye el nivel de agua en el cono con la velocidad a la que disminuye el volumen de agua.

Ejemplo4.1.4: Water Draining from a Funnel

El agua está drenando desde el fondo de un embudo en forma de cono a la velocidad de0.03ft3/sec. La altura del embudo es2 ft y el radio en la parte superior del embudo es1 ft. ¿A qué velocidad cambia la altura del agua en el embudo cuando la altura del agua es12 ft?

Solución

Paso 1: Dibuja una imagen introduciendo las variables.

Se muestra un embudo con altura 2 y radio 1 en su parte superior. El embudo tiene agua a altura h, punto en el que el radio es r.
Figura4.1.5: El agua está drenando desde un embudo de altura2 ft y radio1 ft. La altura del agua y el radio del agua están cambiando con el tiempo. Denotamos estas cantidades con las variablesh yr, respectivamente.

Dejarh denotar la altura del agua en el embudo, r denotar el radio del agua en su superficie, yV denotar el volumen del agua.

Paso 2: Necesitamos determinardhdt cuándoh=12 ft. Sabemos quedVdt=0.03 pies/seg.

Paso 3: El volumen de agua en el cono es

V=13πr2h.

De la figura, vemos que tenemos triángulos similares. Por lo tanto, la relación de los lados en los dos triángulos es la misma. Por lo tanto,rh=12 or=h2. Usando este hecho, la ecuación para el volumen puede simplificarse a

V=13π(h2)2h=π12h3.

Paso 4: Aplicando la regla de la cadena mientras se diferencian ambos lados de esta ecuación con respecto al tiempot, obtenemos

dVdt=π4h2dhdt.

Paso 5: Queremos encontrardhdt cuandoh=12 ft. Ya que el agua está saliendo a la velocidad de0.03ft3/sec, eso lo sabemosdVdt=0.03ft3/sec. Por lo tanto,

0.03=π4(12)2dhdt,

lo que implica

0.03=π16dhdt.

De ello se deduce que

dhdt=0.48π=0.153ft/sec.

Ejercicio4.1.4

¿A qué velocidad cambia la altura del agua cuando la altura del agua es14 ft?

Pista

Tenemos que encontrardhdt cuándoh=14.

Contestar

0.61pies/seg

Conceptos clave

  • Para resolver un problema de tarifas relacionadas, primero dibuje una imagen que ilustre la relación entre las dos o más cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo.
  • En cuanto a las cantidades, indicar la información dada y la tasa a encontrar.
  • Encuentra una ecuación que relacione las cantidades.
  • Utilizar la diferenciación, aplicando la regla de la cadena según sea necesario, para encontrar una ecuación que relacione las tasas.
  • Asegúrese de no sustituir una cantidad variable por una de las variables hasta después de encontrar una ecuación que relacione las tasas.

Glosario

tarifas relacionadas
son tasas de cambio asociadas con dos o más cantidades relacionadas que cambian con el tiempo

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