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LibreTexts Español

5.5E: Ejercicios para la Sección 5.5

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

1) ¿Por quéu -sustitución se refiere como un cambio de variable?

2) Sif=gh, al invertir la regla de la cadenaddx(gh)(x)=g(h(x))h(x),, debe tomaru=g(x) ou=h(x)?

Contestar
u=h(x)

En los ejercicios 3 a 7, verificar cada identidad utilizando la diferenciación. Luego, utilizando lau sustitución indicada, identificar def tal manera que la integral tome la formaf(u)du.

3)xx+1dx=215(x+1)3/2(3x2)+C;u=x+1

4)x2x1dx=215x1(3x2+4x+8)+C,(x>1);u=x1

Contestar
f(u)=(u+1)2u

5)x4x2+9dx=112(4x2+9)3/2+C;u=4x2+9

6)x4x2+9dx=144x2+9+C;u=4x2+9

Contestar
du=8xdx;f(u)=18u

7)x(4x2+9)2dx=18(4x2+9)+C;u=4x2+9

En los ejercicios 8 - 17, encuentra la antiderivada utilizando la sustitución indicada.

8)(x+1)4dx;u=x+1

Contestar
(x+1)4dx=15(x+1)5+C

9)(x1)5dx;u=x1

10)(2x3)7dx;u=2x3

Contestar
(2x3)7dx=112(2x3)6+C

11)(3x2)11dx;u=3x2

12)xx2+1dx;u=x2+1

Contestar
xx2+1dx=x2+1+C

13)x1x2dx;u=1x2

14)(x1)(x22x)3dx;u=x22x

Contestar
(x1)(x22x)3dx=18(x22x)4+C

15)(x22x)(x33x2)2dx;u=x3=3x2

16)cos3θdθ;u=sinθ (Pista:cos2θ=1sin2θ)

Contestar
cos3θdθ=sinθsin3θ3+C

17)sin3θdθ;u=cosθ (Pista:sin2θ=1cos2θ)

En los ejercicios 18 - 34, utilizar un cambio adecuado de variables para determinar la integral indefinida.

18)x(1x)99dx

Contestar
\ (\ begin {alinear*}\ displaystylex (1−x) ^ {99}\, dx &=\ frac {(1−x) ^ {101}} {101} −\ frac {(1−x) ^ {100}} {100} +C\\ [4pt]
&=-\ frac {(1-x) ^ {100}} {10100}\ grande [100x + 1\ grande] +C\ final {alinear*}\)

19)t(1t2)10dt

20)(11x7)3dx

Contestar
(11x7)3dx=122(11x7)2+C

21)(7x11)4dx

22)cos3θsinθdθ

Contestar
cos3θsinθdθ=cos4θ4+C

23)sin7θcosθdθ

24)cos2(πt)sin(πt)dt

Contestar
cos2(πt)sin(πt)dt=cos3(πt)3π+C

25)sin2xcos3xdx (Pista:sin2x+cos2x=1)

26)tsin(t2)cos(t2)dt

Contestar
tsin(t2)cos(t2)dt=14cos2(t2)+C

27)t2cos2(t3)sin(t3)dt

28)x2(x33)2dx

Contestar
x2(x33)2dx=13(x33)+C

29)x31x2dx

30)y5(1y3)3/2dy

Contestar
y5(1y3)3/2dy=2(y32)31y3+C

31)cosθ(1cosθ)99sinθdθ

32)(1cos3θ)10cos2θsinθdθ

Contestar
(1cos3θ)10cos2θsinθdθ=133(1cos3θ)11+C

33)(cosθ1)(cos2θ2cosθ)3sinθdθ

34)(sin2θ2sinθ)(sin3θ3sin2θ)3cosθdθ

Contestar
(sin2θ2sinθ)(sin3θ3sin2θ)3cosθdθ=112(sin3θ3sin2θ)4+C

En los ejercicios 35 - 38, usa una calculadora para estimar el área bajo la curva usando sumas de Riemann izquierda con 50 términos, luego usa la sustitución para resolver la respuesta exacta.

35) [T]y=3(1x)2 sobre[0,2]

36) [T]y=x(1x2)3 sobre[1,2]

Contestar
L50=8.5779.El área exacta es818 unidades2.

37) [T]y=sinx(1cosx)2 sobre[0,π]

38) [T]y=x(x2+1)2 sobre[1,1]

Contestar
L50=0.006399. El área exacta es 0.

En los ejercicios 39 - 44, utilizar un cambio de variables para evaluar la integral definida.

39)10x1x2dx

40)10x1+x2dx

Contestar
u=1+x2,du=2xdx,10x1+x2dx=1221u1/2du=21

41)20t5+t2dt

42)10t21+t3dt

Contestar
u=1+t3,du=3t2,10t21+t3dt=1321u1/2du=23(21)

43)π/40sec2θtanθdθ

44)π/40sinθcos4θdθ

Contestar
u=cosθ,du=sinθdθ,π/40sinθcos4θdθ=2/21u4du=12/2u4du=13(221)

En los ejercicios 45 - 50, evaluar la integral indefinidaf(x)dx con constanteC=0 usandou -sustitución. Después, grafica la función y la antiderivada sobre el intervalo indicado. De ser posible, estimar un valor deC ese habría que sumar a la antiderivada para que sea igual a la integral definidaF(x)=xaf(t)dt, con un punto final izquierdo del intervalo dado.

45) [T](2x+1)ex2+x6dx sobre[3,2]

46) [T]cos(ln(2x))xdx en[0,2]

Contestar

Dos gráficas. El primero muestra la función f (x) = cos (ln (2x))/x, que aumenta bruscamente sobre el intervalo aproximado (0, .25) y luego disminuye gradualmente al eje x. El segundo muestra la función f (x) = sin (ln (2x)), que disminuye bruscamente en el intervalo aproximado (0, .25) y luego aumenta en una curva suave hacia el primer cuadrante.

El antiderivado esy=sin(ln(2x)). Dado que el antiderivado no es continuo enx=0, no se puede encontrar un valor de C que hagay=sin(ln(2x))C funcionar como una integral definida.

47) [T]3x2+2x+1x3+x2+x+4dx sobre[1,2]

48) [T]sinxcos3xdx sobre[π3,π3]

Contestar

Dos gráficas. El primero es la función f (x) = sin (x)/cos (x) ^3 sobre [-5pi/16, 5pi/16]. Es una función descendente cóncava creciente para valores menores que cero y una función ascendente cóncava creciente para valores mayores que cero. El segundo es la función f (x) = ½ seg (x) ^2 en el mismo intervalo. Se trata de una curva ascendente ancha y cóncava que disminuye para valores menores a cero y aumenta para valores mayores a cero.

El antiderivado esy=12sec2x. Deberías tomarC=2 para queF(π3)=0.

49) [T](x+2)ex24x+3dx sobre[5,1]

50) [T]3x22x3+1dx sobre[0,1]

Contestar

Dos gráficas. El primero muestra la función f (x) = 3x^2 * sqrt (2x^3 + 1). Se trata de una curva ascendente cóncava creciente que comienza en el origen. El segundo muestra la función f (x) = 1/3 * (2x^3 + 1) ^ (1/3). Es una curva ascendente cóncava creciente que comienza en aproximadamente 0.3.

El antiderivado esy=13(2x3+1)3/2. Uno debe tomarC=13.

51) Sih(a)=h(b) enbag(h(x))h(x)dx, qué se puede decir sobre el valor de la integral?

52) ¿Está20x1x2dx bien la sustituciónu=1x2 en la integral definitiva? Si no, ¿por qué no?

Contestar
No, porque el integrando es discontinuo enx=1.

En los ejercicios 53 - 59, utilizar un cambio de variables para mostrar que cada integral definida es igual a cero.

53)π0cos2(2θ)sin(2θ)dθ

54)π0tcos(t2)sin(t2)dt

Contestar
u=sin(t2);la integral se convierte1200udu.

55)10(12t)dt

56)1012t1+(t12)2dt

Contestar
u=1+(t12)2;la integral se convierte5/45/41udu.

57)π0sin((tπ2)3)cos(tπ2)dt

58)20(1t)cos(πt)dt

Contestar
u=1t;Dado que el integrando es extraño, la integral se convierte
11ucos(π(1u))du=11u[cosπcosusinπsinu]du=11ucosudu=11ucosudu=0

59)3π/4π/4sin2tcostdt

60) Mostrar que el valor promedio def(x) más de un intervalo[a,b] es el mismo que el valor promedio def(cx) sobre el intervalo[ac,bc] parac>0.

Contestar
Configuraciónu=cx y tedu=cdx pone1bcacb/ca/cf(cx)dx=cbau=bu=af(u)duc=1babaf(u)du.

61) Encontrar el área bajo la gráfica def(t)=t(1+t2)a entret=0 yt=x dóndea>0 ya1 es fija, y evaluar el límite comox.

62) Encuentra el área bajo la gráfica deg(t)=t(1t2)a entret=0 yt=x, donde0<x<1 ya>0 es fija. Evaluar el límite comox1.

Contestar
x0g(t)dt=121u=1x2duua=12(1a)u1a1u=12(1a)(1(1x2)1a)Comox1 el límite es12(1a) sia<1, y el límite diverge a+ sia>1.

63) El área de un semicírculo de radio se1 puede expresar como111x2dx. Utilice la sustituciónx=cost para expresar el área de un semicírculo como la integral de una función trigonométrica. No es necesario computar la integral.

64) El área de la mitad superior de una elipse con un eje mayor que es elx -eje dex=1 a y con un eje menor que es ely -eje dey=b a sey=b puede escribir comoaab1x2a2dx. Utilizar la sustituciónx=acost para expresar esta área en términos de una integral de una función trigonométrica. No es necesario computar la integral.

Contestar
t=0t=πb1cos2t×(asint)dt=t=πt=0absin2tdt

65) [T] La siguiente gráfica es de una función de la formaf(t)=asin(nt)+bsin(mt). Estimar los coeficientesa yb y los parámetros de frecuencian ym. Utilice estas estimaciones para aproximarseπ0f(t)dt.

Una gráfica de una función de la forma dada sobre [0, 2pi], que tiene seis puntos de inflexión. Se encuentran justo antes de pi/4, justo después de pi/2, entre 3pi/4 y pi, entre pi y 5pi/4, justo antes de 3pi/2, y justo después de 7pi/4 a aproximadamente 3, -2, 1, -1, 2 y -3. Comienza en el origen y termina en (2pi, 0). Cruza el eje x entre pi/4 y pi/2, justo antes de 3pi/4, pi, justo después de 5pi/4, y entre 3pi/2 y 4pi/4.

66) [T] La siguiente gráfica es de una función de la formaf(x)=acos(nt)+bcos(mt). Estimar los coeficientesa yb y los parámetros de frecuencian ym. Utilice estas estimaciones para aproximarπ0f(t)dt.

La gráfica de una función de la forma dada sobre [0, 2pi]. Comienza en (0,1) y termina en (2pi, 1). Cuenta con cinco puntos de inflexión, ubicados justo después de pi/4, entre pi/2 y 3pi/4, pi, entre 5pi/4 y 3pi/2, y justo antes de 7pi/4 a aproximadamente -1.5, 2.5, -3, 2.5 y -1. Cruza el eje x entre 0 y pi/4, justo antes de pi/2, justo después de 3pi/4, justo antes de 5pi/4, justo después de 3pi/2, y entre 7pi/4 y 2pi.

Contestar
f(t)=2cos(3t)cos(2t);π/20(2cos(3t)cos(2t))dt=23

5.5E: Ejercicios para la Sección 5.5 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.

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