5.5E: Ejercicios para la Sección 5.5
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
1) ¿Por quéu -sustitución se refiere como un cambio de variable?
2) Sif=g∘h, al invertir la regla de la cadenaddx(g∘h)(x)=g′(h(x))h′(x),, debe tomaru=g(x) ou=h(x)?
- Contestar
- u=h(x)
En los ejercicios 3 a 7, verificar cada identidad utilizando la diferenciación. Luego, utilizando lau sustitución indicada, identificar def tal manera que la integral tome la forma∫f(u)du.
3)∫x√x+1dx=215(x+1)3/2(3x−2)+C;u=x+1
4)∫x2√x−1dx=215√x−1(3x2+4x+8)+C,(x>1);u=x−1
- Contestar
- f(u)=(u+1)2√u
5)∫x√4x2+9dx=112(4x2+9)3/2+C;u=4x2+9
6)∫x√4x2+9dx=14√4x2+9+C;u=4x2+9
- Contestar
- du=8xdx;f(u)=18√u
7)∫x(4x2+9)2dx=−18(4x2+9)+C;u=4x2+9
En los ejercicios 8 - 17, encuentra la antiderivada utilizando la sustitución indicada.
8)∫(x+1)4dx;u=x+1
- Contestar
- ∫(x+1)4dx=15(x+1)5+C
9)∫(x−1)5dx;u=x−1
10)∫(2x−3)−7dx;u=2x−3
- Contestar
- ∫(2x−3)−7dx=−112(2x−3)6+C
11)∫(3x−2)−11dx;u=3x−2
12)∫x√x2+1dx;u=x2+1
- Contestar
- ∫x√x2+1dx=√x2+1+C
13)∫x√1−x2dx;u=1−x2
14)∫(x−1)(x2−2x)3dx;u=x2−2x
- Contestar
- ∫(x−1)(x2−2x)3dx=18(x2−2x)4+C
15)∫(x2−2x)(x3−3x2)2dx;u=x3=3x2
16)∫cos3θdθ;u=sinθ (Pista:cos2θ=1−sin2θ)
- Contestar
- ∫cos3θdθ=sinθ−sin3θ3+C
17)∫sin3θdθ;u=cosθ (Pista:sin2θ=1−cos2θ)
En los ejercicios 18 - 34, utilizar un cambio adecuado de variables para determinar la integral indefinida.
18)∫x(1−x)99dx
- Contestar
- \ (\ begin {alinear*}\ displaystylex (1−x) ^ {99}\, dx &=\ frac {(1−x) ^ {101}} {101} −\ frac {(1−x) ^ {100}} {100} +C\\ [4pt]
&=-\ frac {(1-x) ^ {100}} {10100}\ grande [100x + 1\ grande] +C\ final {alinear*}\)
19)∫t(1−t2)10dt
20)∫(11x−7)−3dx
- Contestar
- ∫(11x−7)−3dx=−122(11x−7)2+C
21)∫(7x−11)4dx
22)∫cos3θsinθdθ
- Contestar
- ∫cos3θsinθdθ=−cos4θ4+C
23)∫sin7θcosθdθ
24)∫cos2(πt)sin(πt)dt
- Contestar
- ∫cos2(πt)sin(πt)dt=−cos3(πt)3π+C
25)∫sin2xcos3xdx (Pista:sin2x+cos2x=1)
26)∫tsin(t2)cos(t2)dt
- Contestar
- ∫tsin(t2)cos(t2)dt=−14cos2(t2)+C
27)∫t2cos2(t3)sin(t3)dt
28)∫x2(x3−3)2dx
- Contestar
- ∫x2(x3−3)2dx=−13(x3−3)+C
29)∫x3√1−x2dx
30)∫y5(1−y3)3/2dy
- Contestar
- ∫y5(1−y3)3/2dy=−2(y3−2)3√1−y3+C
31)∫cosθ(1−cosθ)99sinθdθ
32)∫(1−cos3θ)10cos2θsinθdθ
- Contestar
- ∫(1−cos3θ)10cos2θsinθdθ=133(1−cos3θ)11+C
33)∫(cosθ−1)(cos2θ−2cosθ)3sinθdθ
34)∫(sin2θ−2sinθ)(sin3θ−3sin2θ)3cosθdθ
- Contestar
- ∫(sin2θ−2sinθ)(sin3θ−3sin2θ)3cosθdθ=112(sin3θ−3sin2θ)4+C
En los ejercicios 35 - 38, usa una calculadora para estimar el área bajo la curva usando sumas de Riemann izquierda con 50 términos, luego usa la sustitución para resolver la respuesta exacta.
35) [T]y=3(1−x)2 sobre[0,2]
36) [T]y=x(1−x2)3 sobre[−1,2]
- Contestar
- L50=−8.5779.El área exacta es−818 unidades2.
37) [T]y=sinx(1−cosx)2 sobre[0,π]
38) [T]y=x(x2+1)2 sobre[−1,1]
- Contestar
- L50=−0.006399. El área exacta es 0.
En los ejercicios 39 - 44, utilizar un cambio de variables para evaluar la integral definida.
39)∫10x√1−x2dx
40)∫10x√1+x2dx
- Contestar
- u=1+x2,du=2xdx,∫10x√1+x2dx=12∫21u−1/2du=√2−1
41)∫20t√5+t2dt
42)∫10t2√1+t3dt
- Contestar
- u=1+t3,du=3t2,∫10t2√1+t3dt=13∫21u−1/2du=23(√2−1)
43)∫π/40sec2θtanθdθ
44)∫π/40sinθcos4θdθ
- Contestar
- u=cosθ,du=−sinθdθ,∫π/40sinθcos4θdθ=−∫√2/21u−4du=∫1√2/2u−4du=13(2√2−1)
En los ejercicios 45 - 50, evaluar la integral indefinida∫f(x)dx con constanteC=0 usandou -sustitución. Después, grafica la función y la antiderivada sobre el intervalo indicado. De ser posible, estimar un valor deC ese habría que sumar a la antiderivada para que sea igual a la integral definidaF(x)=∫xaf(t)dt, con un punto final izquierdo del intervalo dado.
45) [T]∫(2x+1)ex2+x−6dx sobre[−3,2]
46) [T]∫cos(ln(2x))xdx en[0,2]
- Contestar
-
El antiderivado esy=sin(ln(2x)). Dado que el antiderivado no es continuo enx=0, no se puede encontrar un valor de C que hagay=sin(ln(2x))−C funcionar como una integral definida.
47) [T]∫3x2+2x+1√x3+x2+x+4dx sobre[−1,2]
48) [T]∫sinxcos3xdx sobre[−π3,π3]
- Contestar
-
El antiderivado esy=12sec2x. Deberías tomarC=−2 para queF(−π3)=0.
49) [T]∫(x+2)e−x2−4x+3dx sobre[−5,1]
50) [T]∫3x2√2x3+1dx sobre[0,1]
- Contestar
-
El antiderivado esy=13(2x3+1)3/2. Uno debe tomarC=−13.
51) Sih(a)=h(b) en∫bag′(h(x))h(x)dx, qué se puede decir sobre el valor de la integral?
52) ¿Está∫20x1−x2dx bien la sustituciónu=1−x2 en la integral definitiva? Si no, ¿por qué no?
- Contestar
- No, porque el integrando es discontinuo enx=1.
En los ejercicios 53 - 59, utilizar un cambio de variables para mostrar que cada integral definida es igual a cero.
53)∫π0cos2(2θ)sin(2θ)dθ
54)∫√π0tcos(t2)sin(t2)dt
- Contestar
- u=sin(t2);la integral se convierte12∫00udu.
55)∫10(1−2t)dt
56)∫101−2t1+(t−12)2dt
- Contestar
- u=1+(t−12)2;la integral se convierte−∫5/45/41udu.
57)∫π0sin((t−π2)3)cos(t−π2)dt
58)∫20(1−t)cos(πt)dt
- Contestar
- u=1−t;Dado que el integrando es extraño, la integral se convierte
∫−11ucos(π(1−u))du=∫−11u[cosπcosu−sinπsinu]du=−∫−11ucosudu=∫1−1ucosudu=0
59)∫3π/4π/4sin2tcostdt
60) Mostrar que el valor promedio def(x) más de un intervalo[a,b] es el mismo que el valor promedio def(cx) sobre el intervalo[ac,bc] parac>0.
- Contestar
- Configuraciónu=cx y tedu=cdx pone1bc−ac∫b/ca/cf(cx)dx=cb−a∫u=bu=af(u)duc=1b−a∫baf(u)du.
61) Encontrar el área bajo la gráfica def(t)=t(1+t2)a entret=0 yt=x dóndea>0 ya≠1 es fija, y evaluar el límite comox→∞.
62) Encuentra el área bajo la gráfica deg(t)=t(1−t2)a entret=0 yt=x, donde0<x<1 ya>0 es fija. Evaluar el límite comox→1.
- Contestar
- ∫x0g(t)dt=12∫1u=1−x2duua=12(1−a)u1−a∣1u=12(1−a)(1−(1−x2)1−a)Comox→1 el límite es12(1−a) sia<1, y el límite diverge a+∞ sia>1.
63) El área de un semicírculo de radio se1 puede expresar como∫1−1√1−x2dx. Utilice la sustituciónx=cost para expresar el área de un semicírculo como la integral de una función trigonométrica. No es necesario computar la integral.
64) El área de la mitad superior de una elipse con un eje mayor que es elx -eje dex=−1 a y con un eje menor que es ely -eje dey=−b a sey=b puede escribir como∫a−ab√1−x2a2dx. Utilizar la sustituciónx=acost para expresar esta área en términos de una integral de una función trigonométrica. No es necesario computar la integral.
- Contestar
- ∫t=0t=πb√1−cos2t×(−asint)dt=∫t=πt=0absin2tdt
65) [T] La siguiente gráfica es de una función de la formaf(t)=asin(nt)+bsin(mt). Estimar los coeficientesa yb y los parámetros de frecuencian ym. Utilice estas estimaciones para aproximarse∫π0f(t)dt.
66) [T] La siguiente gráfica es de una función de la formaf(x)=acos(nt)+bcos(mt). Estimar los coeficientesa yb y los parámetros de frecuencian ym. Utilice estas estimaciones para aproximar∫π0f(t)dt.
- Contestar
- f(t)=2cos(3t)−cos(2t);∫π/20(2cos(3t)−cos(2t))dt=−23