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# 5.6: Integrales que involucran funciones exponenciales y logarítmicas

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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##### Objetivos de aprendizaje
• Integrar funciones que involucran funciones exponenciales.
• Integrar funciones que involucran funciones logarítmicas.

Las funciones exponenciales y logarítmicas se utilizan para modelar el crecimiento de la población, el crecimiento celular y el crecimiento financiero, así como la depreciación, la desintegración radiactiva y el consumo de recursos, por nombrar solo algunas aplicaciones. En esta sección, exploramos la integración que involucra funciones exponenciales y logarítmicas.

## Integrales de funciones exponenciales

La función exponencial es quizás la función más eficiente en términos de las operaciones de cálculo. La función exponencial,$$y=e^x$$, es su propia derivada y su propia integral.

##### Regla: Integrales de funciones exponenciales

Las funciones exponenciales se pueden integrar usando las siguientes fórmulas.

\begin{align} ∫e^x\,dx &= e^x+C \\[4pt] ∫a^x\,dx &=\dfrac{a^x}{\ln a}+C \end{align} \nonumber

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Finding an Antiderivative of an Exponential Function

Encuentra la antiderivada de la función exponencial$$e^{−x}$$.

Solución

Use sustitución, ajuste$$u=−x,$$ y luego$$du=−1\,dx$$. Multiplica la$$du$$ ecuación por$$−1$$, así que ahora tienes$$−du=\,dx$$. Entonces,

$∫e^{−x}\,dx=−∫e^u\,du=−e^u+C=−e^{−x}+C. \nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Encuentra la antiderivada de la función usando la sustitución:$$x^2e^{−2x^3}$$.

Pista

Vamos$$u$$ a igualar el exponente en$$e$$.

Contestar

$$\displaystyle ∫x^2e^{−2x^3}\,dx=−\dfrac{1}{6}e^{−2x^3}+C$$

Un error común al tratar con expresiones exponenciales es tratar al exponente de$$e$$ la misma manera que tratamos a los exponentes en expresiones polinómicas. No podemos usar la regla de poder para el exponente encendido$$e$$. Esto puede resultar especialmente confuso cuando tenemos tanto exponenciales como polinomios en la misma expresión, como en el punto de control anterior. En estos casos, siempre debemos volver a verificar para asegurarnos de que estamos usando las reglas adecuadas para las funciones que estamos integrando.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Square Root of an Exponential Function

Encuentra la antiderivada de la función exponencial$$e^x\sqrt{1+e^x}$$.

Solución

Primero reescribe el problema usando un exponente racional:

$∫e^x\sqrt{1+e^x}\,dx=∫e^x(1+e^x)^{1/2}\,dx.\nonumber$

Usando la sustitución, elija$$u=1+e^x$$. Entonces,$$du=e^x\,dx$$. Tenemos

$∫e^x(1+e^x)^{1/2}\,dx=∫u^{1/2}\,du.\nonumber$

Entonces

$∫u^{1/2}\,du=\dfrac{u^{3/2}}{3/2}+C=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+C=\dfrac{2}{3}(1+e^x)^{3/2}+C\nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Encuentra el antiderivado de$$e^x(3e^x−2)^2$$.

Pista

Vamos$$u=3e^x−2$$.

Contestar

$$\displaystyle ∫e^x(3e^x−2)^2\,dx=\dfrac{1}{9}(3e^x−2)^3+C$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Using Substitution with an Exponential Function

Utilizar la sustitución para evaluar la integral indefinida$$\displaystyle ∫3x^2e^{2x^3}\,dx.$$

Solución

Aquí elegimos dejar$$u$$ igualar la expresión en el exponente sobre$$e$$. Dejar$$u=2x^3$$ y$$du=6x^2\,dx$$. Nuevamente,$$du$$ está apagado por un multiplicador constante; la función original contiene un factor de$$3x^2,$$ no$$6x^2$$. Multiplique ambos lados de la ecuación por$$\dfrac{1}{2}$$ para que el integrando en$$u$$ sea igual al integrando en$$x$$. Así,

$∫3x^2e^{2x^3}\,dx=\frac{1}{2}∫e^u\,du. \nonumber$

Integrar la expresión en$$u$$ y luego sustituir la expresión original de$$x$$ nuevo en la$$u$$ -integral:

$\frac{1}{2}∫e^u\,du=\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^2x^3+C. \nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Evaluar la integral indefinida$$\displaystyle ∫2x^3e^{x^4}\,dx$$.

Pista

Let$$u=x^4.$$

Contestar

$$\displaystyle ∫2x^3e^{x^4}\,dx=\frac{1}{2}e^{x^4}+C$$

Como se mencionó al inicio de esta sección, las funciones exponenciales se utilizan en muchas aplicaciones de la vida real. El número$$e$$ suele estar asociado con un crecimiento compuesto o acelerado, como hemos visto en secciones anteriores sobre la derivada. Aunque la derivada representa una tasa de cambio o una tasa de crecimiento, la integral representa el cambio total o el crecimiento total. Veamos un ejemplo en el que la integración de una función exponencial resuelve una aplicación comercial común.

Una función precio-demanda nos dice la relación entre la cantidad de un producto demandado y el precio del producto. En general, el precio disminuye a medida que aumenta la cantidad demandada. La función precio-demanda marginal es la derivada de la función precio-demanda y nos dice qué tan rápido cambia el precio en un determinado nivel de producción. Estas funciones se utilizan en los negocios para determinar el precio-elasticidad de la demanda, y para ayudar a las empresas a determinar si cambiar los niveles de producción sería rentable.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$: Finding a Price–Demand Equation

Encuentre la ecuación precio-demanda para una marca particular de pasta de dientes en una cadena de supermercados cuando la demanda es de$$50$$ tubos por semana a $2.35 por tubo, dado que la función de precio-demanda marginal,$$p′(x),$$ para el$$x$$ número de tubos por semana, se da como $p'(x)=−0.015e^{−0.01x}. \nonumber$ Si la cadena de supermercados vende$$100$$ tubos por semana, ¿qué precio debería fijar? Solución Para encontrar la ecuación precio-demanda, integre la función precio-demanda marginal. Primero encuentra el antiderivado, luego mira los datos. Así, $p(x)=∫−0.015e^{−0.01x}\,dx=−0.015∫e^{−0.01x}\,dx. \nonumber$ Usando sustitución, let$$u=−0.01x$$ y$$du=−0.01\,dx$$. Entonces, divide ambos lados de la$$du$$ ecuación por$$−0.01$$. Esto da $\dfrac{−0.015}{−0.01}∫e^u\,du=1.5∫e^u\,du=1.5e^u+C=1.5e^{−0.01}x+C. \nonumber$ El siguiente paso es resolver para$$C$$. Sabemos que cuando el precio es de$2.35 por tubo, la demanda es de$$50$$ tubos por semana. Esto significa

$p(50)=1.5e^{−0.01(50)}+C=2.35. \nonumber$

Ahora, solo resuelva para$$C$$:

$C=2.35−1.5e^{−0.5}=2.35−0.91=1.44. \nonumber$

Así,

$p(x)=1.5e^{−0.01x}+1.44. \nonumber$

Si el supermercado vende$$100$$ tubos de pasta de dientes por semana, el precio sería

$p(100)=1.5e−0.01(100)+1.44=1.5e−1+1.44≈1.99. \nonumber$

El supermercado debe cobrar \$1.99 por tubo si está vendiendo$$100$$ tubos por semana.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$: Evaluating a Definite Integral Involving an Exponential Function

Evaluar la integral definida$$\displaystyle ∫^2_1e^{1−x}\,dx.$$

Solución

Nuevamente, la sustitución es el método a utilizar. Que$$u=1−x,$$ así$$\,du=−1\,dx$$ o$$−\,du=\,dx$$. Entonces$$\displaystyle ∫e^{1−x}\,dx=−∫e^u\,du.$$

A continuación, cambiar los límites de la integración. Usando la ecuación$$u=1−x$$, tenemos:

$\text{When }x = 1, \quad u=1−(1)=0, \nonumber$

$\text{and when }x = 2, \quad u=1−(2)=−1. \nonumber$

La integral se convierte entonces

\begin{align*} ∫^2_1e^{1−x}\,\,dx &= −∫^{−1}_0e^u\,\,du \\[4pt] &=∫^0_{−1}e^u\,\,du \\[4pt] &=e^u\bigg|^0_{−1}=e^0−(e^{−1}) \\[4pt] &=−e^{−1}+1. \end{align*}

Ver Figura$$\PageIndex{2}$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Evaluar$$\displaystyle ∫^2_0e^{2x}\,dx.$$

Pista

Let$$u=2x.$$

Contestar

$$\displaystyle \frac{1}{2}∫^4_0e^u\,du=\dfrac{1}{2}(e^4−1)$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$: Growth of Bacteria in a Culture

Supongamos que la tasa de crecimiento de bacterias en una placa de Petri viene dada por$$q(t)=3^t$$, donde$$t$$ se da en horas y$$q(t)$$ se da en miles de bacterias por hora. Si un cultivo comienza con$$10,000$$ bacterias, encuentra una función$$Q(t)$$ que dé el número de bacterias en la placa de Petri en cualquier momento$$t$$. ¿Cuántas bacterias hay en el plato después de$$2$$ horas?

Solución

Tenemos

$Q(t)=∫3^tdt=\dfrac{3^t}{\ln 3}+C. \nonumber$

Entonces, en$$Q(0)=10=\dfrac{1}{\ln 3}+C,$$ lo$$t=0$$ tenemos$$C≈9.090$$ y conseguimos

$Q(t)=\dfrac{3^t}{\ln 3}+9.090. \nonumber$

En el momento$$t=2$$, tenemos

\begin{align*} Q(2) &=\dfrac{3^2}{\ln 3}+9.090 \\[4pt] &\approx 17.282. \end{align*}

Después de 2 horas, hay 17.282 bacterias en el platillo.

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

De Ejemplo, supongamos que las bacterias crecen a un ritmo de$$q(t)=2^t$$. Supongamos que el cultivo aún comienza con$$10,000$$ bacterias. Encuentra$$Q(t)$$. ¿Cuántas bacterias hay en el plato después de$$3$$ horas?

Pista

Utilice el procedimiento de Ejemplo$$\PageIndex{6}$$ para resolver el problema

Contestar

\begin{align*} Q(t) &= \dfrac{2^t}{\ln 2} + 8.557. \\[4pt] Q(3) &\approx 20,099 \end{align*}

Por lo que hay$$20,099$$ bacterias en el plato después de$$3$$ horas.

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$: Fruit Fly Population Growth

Supongamos que una población de moscas de la fruta aumenta a un ritmo de$$g(t)=2e^{0.02t}$$, en moscas por día. Si la población inicial de moscas de la fruta son$$100$$ moscas, ¿cuántas moscas hay en la población después de$$10$$ días?

Solución

Dejar$$G(t)$$ representar el número de moscas en la población en el momento$$t$$. Aplicando el teorema del cambio neto, tenemos

\begin{align*} G(10)=G(0)+∫^{10}_02e^{0.02t}\,dt \\[4pt] &=100+\left[\dfrac{2}{0.02}e^{0.02t}\right]∣^{10}_0 \\[4pt] &=100+\left[100e^{0.02t}\right]∣^{10}_0 \\[4pt] &=100+100e^{0.2}−100 \\[4pt] &≈122. \end{align*}

Hay$$122$$ moscas en la población después de$$10$$ días.

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Supongamos que la tasa de crecimiento de la población de moscas viene dada por$$g(t)=e^{0.01t},$$ y la población inicial de$$100$$ moscas es moscas. ¿Cuántas moscas hay en la población después de$$15$$ días?

Pista

Utilice el proceso de Ejemplo$$\PageIndex{7}$$ para resolver el problema.

Contestar

Hay$$116$$ moscas.

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$: Evaluating a Definite Integral Using Substitution

Evaluar la integral definida mediante sustitución:$∫^2_1\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\,dx.\nonumber$

Solución

Este problema requiere algo de reescritura para simplificar la aplicación de las propiedades. Primero, reescribe el exponente en e como una potencia de$$x$$, luego lleva el$$x^2$$ en el denominador hasta el numerador usando un exponente negativo. Tenemos

$∫^2_1\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\,\,dx=∫^2_1e^{x^{−1}}x^{−2}\,dx. \nonumber$

Deja que$$u=x^{−1},$$ el exponente se ponga en marcha$$e$$. Entonces

$du=−x^{−2}\,dx \nonumber$

$−du=x^{−2}\,dx. \nonumber$

Llevando el signo negativo fuera del signo integral, el problema ahora dice

$−∫e^u\,du. \nonumber$

A continuación, cambie los límites de la integración:

$u=(1)^{−1}=1 \nonumber$

$u=(2)^{−1}=\dfrac{1}{2}. \nonumber$

Observe que ahora los límites comienzan con el número mayor, lo que significa que podemos multiplicar por$$−1$$ e intercambiar los límites. Así,

$−∫^{1/2}_1e^u\,du=∫^1_{1/2}e^u\,du=e^u\big|^1_{1/2}=e−e^{1/2}=e−\sqrt{e}.\nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Evaluar la integral definida mediante sustitución:$∫^2_1\dfrac{1}{x^3}e^{4x^{−2}}\,dx.\nonumber$

Pista

Let$$u=4x^{−2}.$$

Contestar

$$\displaystyle ∫^2_1\dfrac{1}{x^3}e^{4x^{−2}}\,dx=\dfrac{1}{8}[e^4−e]$$.

## Integrales que involucran funciones logarítmicas

Integrar funciones del formulario$$f(x)=x^{−1}$$ dan como resultado el valor absoluto de la función logarítmica natural, como se muestra en la siguiente regla. Las fórmulas integrales para otras funciones logarítmicas, como$$f(x)=\ln x$$ y$$f(x)=\log_a x$$, también se incluyen en la regla.

##### Regla: Fórmulas de integración con funciones logarítmicas

Las siguientes fórmulas se pueden utilizar para evaluar integrales que involucran funciones logarítmicas.

\begin{align*} ∫x^{−1}\,dx &=\ln |x|+C \\[4pt] ∫\ln x\,\,dx &= x\ln x−x+C =x (\ln x−1)+C \\[4pt] ∫\log_a x\,dx &=\dfrac{x}{\ln a}(\ln x−1)+C \end{align*}

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$: Finding an Antiderivative Involving $$\ln x$$

Encuentra la antiderivada de la función$$\dfrac{3}{x−10}.$$

Solución

Primero factoriza el$$3$$ exterior del símbolo integral. Entonces usa la$$u^{−1}$$ regla. Así,

$∫\dfrac{3}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{1}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{du}{u}=3\ln |u|+C=3\ln |x−10|+C,\quad x≠10. \nonumber$

Ver Figura$$\PageIndex{3}$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Encuentra el antiderivado de$$\dfrac{1}{x+2}.$$

Pista

Sigue el patrón de Ejemplo$$\PageIndex{9}$$ para resolver el problema.

Contestar

$$\displaystyle \int \dfrac{1}{x+2}\,dx = \ln |x+2|+C$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$: Finding an Antiderivative of a Rational Function

Encuentra el antiderivado de$$\dfrac{2x^3+3x}{x^4+3x^2}.$$

Solución

Esto se puede reescribir como Sustitución de$$\displaystyle ∫(2x^3+3x)(x^4+3x^2)^{−1}\,dx.$$ uso.

Vamos$$u=x^4+3x^2$$, luego$$du=(4x^3+6x)\,dx.$$ Alter$$du$$ factorizando el$$2$$. Así,

$du=(4x^3+6x)\,dx=2(2x^3+3x)\,dx \nonumber$

$\dfrac{1}{2}\,du=(2x^3+3x)\,dx. \nonumber$

Reescribe el integrando en$$u$$:

$∫(2x^3+3x)(x^4+3x^2)^{−1}\,dx=\dfrac{1}{2}∫u^{−1}\,du. \nonumber$

Entonces tenemos

$\dfrac{1}{2}∫u^{−1}\,du=\dfrac{1}{2}\ln |u|+C=\dfrac{1}{2}\ln ∣x^4+3x^2∣+C. \nonumber$

##### Ejemplo$$\PageIndex{11}$$: Finding an Antiderivative of a Logarithmic Function

Encuentra el antiderivado de la función log$$\log_2 x.$$

Solución

Siga el formato en la fórmula listada en la regla sobre fórmulas de integración que involucran funciones logarítmicas. En base a este formato, tenemos

$∫\log_2 x\,dx=\dfrac{x}{\ln 2}(\ln x−1)+C.\nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Encuentra el antiderivado de$$\log_3 x$$.

Pista

Siga Ejemplo$$\PageIndex{11}$$ y consulte la regla sobre fórmulas de integración que involucran funciones logarítmicas.

Contestar

$$\displaystyle ∫\log_3 x\,dx=\dfrac{x}{\ln 3}(\ln x−1)+C$$

Ejemplo$$\PageIndex{12}$$ es una integral definitiva de una función trigonométrica. Con funciones trigonométricas, a menudo tenemos que aplicar una propiedad trigonométrica o una identidad antes de poder avanzar. Encontrar la forma correcta del integrando suele ser la clave para una integración fluida.

##### Ejemplo$$\PageIndex{12}$$: Evaluating a Definite Integral

Evaluar la integral definida$∫^{π/2}_0\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx.\nonumber$

Solución

Necesitamos sustitución para evaluar este problema. Que$$u=1+\cos x$$ así$$du=−\sin x\,\,dx.$$

Reescribir la integral en términos de$$u$$, cambiando los límites de la integración también. Así,

\begin{align*} u &= 1+\cos(0)=2 \\[4pt] u &=1+\cos \left(\dfrac{π}{2}\right)=1.\end{align*}

Entonces

\begin{align*}∫^{π/2}_0\dfrac{\sin x}{1+\cos x} &=−∫^1_2 u^{−1}\,du \\[4pt] &=∫^2_1u^{−1}\,du \\[4pt] &=\ln |u|\,\bigg|^2_1 \\[4pt] &=[\ln 2−\ln 1]=\ln 2 \end{align*}

## Conceptos clave

• Las funciones exponenciales y logarítmicas surgen en muchas aplicaciones del mundo real, especialmente aquellas que involucran crecimiento y decadencia.
• La sustitución se utiliza a menudo para evaluar integrales que involucran funciones exponenciales o logaritmos.

## Ecuaciones Clave

• Integrales de funciones exponenciales

$∫e^x\,dx=e^x+C \nonumber$

$\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C \nonumber$

• Fórmulas de integración que implican funciones logarí

$∫x^{−1}\,dx=\ln |x|+C \nonumber$

$∫\ln x\,dx=x\ln x−x+C=x(\ln x−1)+C \nonumber$

$∫\log_a x\,dx=\dfrac{x}{\ln a}(\ln x−1)+C \nonumber$

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