5.6: Integrales que involucran funciones exponenciales y logarítmicas

Objetivos de aprendizaje

• Integrar funciones que involucran funciones exponenciales.
• Integrar funciones que involucran funciones logarítmicas.

Las funciones exponenciales y logarítmicas se utilizan para modelar el crecimiento de la población, el crecimiento celular y el crecimiento financiero, así como la depreciación, la desintegración radiactiva y el consumo de recursos, por nombrar solo algunas aplicaciones. En esta sección, exploramos la integración que involucra funciones exponenciales y logarítmicas.

Integrales de funciones exponenciales

La función exponencial es quizás la función más eficiente en términos de las operaciones de cálculo. La función exponencial,$y=e^x$, es su propia derivada y su propia integral.

Regla: Integrales de funciones exponenciales

Las funciones exponenciales se pueden integrar usando las siguientes fórmulas.

$$\begin{align} ∫e^x\,dx &= e^x+C \\[4pt] ∫a^x\,dx &=\dfrac{a^x}{\ln a}+C \end{align} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Finding an Antiderivative of an Exponential Function

Encuentra la antiderivada de la función exponencial$e^{−x}$.

Solución

Use sustitución, ajuste$u=−x,$ y luego$du=−1\,dx$. Multiplica la$du$ ecuación por$−1$, así que ahora tienes$−du=\,dx$. Entonces,

$$∫e^{−x}\,dx=−∫e^u\,du=−e^u+C=−e^{−x}+C. \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Encuentra la antiderivada de la función usando la sustitución:$x^2e^{−2x^3}$.

Pista

Vamos$u$ a igualar el exponente en$e$.

Contestar

$\displaystyle ∫x^2e^{−2x^3}\,dx=−\dfrac{1}{6}e^{−2x^3}+C$

Un error común al tratar con expresiones exponenciales es tratar al exponente de$e$ la misma manera que tratamos a los exponentes en expresiones polinómicas. No podemos usar la regla de poder para el exponente encendido$e$. Esto puede resultar especialmente confuso cuando tenemos tanto exponenciales como polinomios en la misma expresión, como en el punto de control anterior. En estos casos, siempre debemos volver a verificar para asegurarnos de que estamos usando las reglas adecuadas para las funciones que estamos integrando.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Square Root of an Exponential Function

Encuentra la antiderivada de la función exponencial$e^x\sqrt{1+e^x}$.

Solución

Primero reescribe el problema usando un exponente racional:

$$∫e^x\sqrt{1+e^x}\,dx=∫e^x(1+e^x)^{1/2}\,dx.\nonumber$$

Usando la sustitución, elija$u=1+e^x$. Entonces,$du=e^x\,dx$. Tenemos

$$∫e^x(1+e^x)^{1/2}\,dx=∫u^{1/2}\,du.\nonumber$$

Entonces

$$∫u^{1/2}\,du=\dfrac{u^{3/2}}{3/2}+C=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+C=\dfrac{2}{3}(1+e^x)^{3/2}+C\nonumber$$

Figura$\PageIndex{1}$: La gráfica muestra una función exponencial multiplicada por la raíz cuadrada de una función exponencial.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Encuentra el antiderivado de$e^x(3e^x−2)^2$.

Pista

Vamos$u=3e^x−2$.

Contestar

$\displaystyle ∫e^x(3e^x−2)^2\,dx=\dfrac{1}{9}(3e^x−2)^3+C$

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Using Substitution with an Exponential Function

Utilizar la sustitución para evaluar la integral indefinida$\displaystyle ∫3x^2e^{2x^3}\,dx.$

Solución

Aquí elegimos dejar$u$ igualar la expresión en el exponente sobre$e$. Dejar$u=2x^3$ y$du=6x^2\,dx$. Nuevamente,$du$ está apagado por un multiplicador constante; la función original contiene un factor de$3x^2,$ no$6x^2$. Multiplique ambos lados de la ecuación por$\dfrac{1}{2}$ para que el integrando en$u$ sea igual al integrando en$x$. Así,

$$∫3x^2e^{2x^3}\,dx=\frac{1}{2}∫e^u\,du. \nonumber$$

Integrar la expresión en$u$ y luego sustituir la expresión original de$x$ nuevo en la$u$ -integral:

$$\frac{1}{2}∫e^u\,du=\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^2x^3+C. \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Evaluar la integral indefinida$\displaystyle ∫2x^3e^{x^4}\,dx$.

Pista

Let$u=x^4.$

Contestar

$\displaystyle ∫2x^3e^{x^4}\,dx=\frac{1}{2}e^{x^4}+C$

Como se mencionó al inicio de esta sección, las funciones exponenciales se utilizan en muchas aplicaciones de la vida real. El número$e$ suele estar asociado con un crecimiento compuesto o acelerado, como hemos visto en secciones anteriores sobre la derivada. Aunque la derivada representa una tasa de cambio o una tasa de crecimiento, la integral representa el cambio total o el crecimiento total. Veamos un ejemplo en el que la integración de una función exponencial resuelve una aplicación comercial común.

Una función precio-demanda nos dice la relación entre la cantidad de un producto demandado y el precio del producto. En general, el precio disminuye a medida que aumenta la cantidad demandada. La función precio-demanda marginal es la derivada de la función precio-demanda y nos dice qué tan rápido cambia el precio en un determinado nivel de producción. Estas funciones se utilizan en los negocios para determinar el precio-elasticidad de la demanda, y para ayudar a las empresas a determinar si cambiar los niveles de producción sería rentable.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Finding a Price–Demand Equation

Encuentre la ecuación precio-demanda para una marca particular de pasta de dientes en una cadena de supermercados cuando la demanda es de$50$ tubos por semana a $2.35 por tubo, dado que la función de precio-demanda marginal,$p′(x),$ para el$x$ número de tubos por semana, se da como

$$p'(x)=−0.015e^{−0.01x}. \nonumber$$

Si la cadena de supermercados vende$100$ tubos por semana, ¿qué precio debería fijar?

Solución

Para encontrar la ecuación precio-demanda, integre la función precio-demanda marginal. Primero encuentra el antiderivado, luego mira los datos. Así,

$$p(x)=∫−0.015e^{−0.01x}\,dx=−0.015∫e^{−0.01x}\,dx. \nonumber$$

Usando sustitución, let$u=−0.01x$ y$du=−0.01\,dx$. Entonces, divide ambos lados de la$du$ ecuación por$−0.01$. Esto da

$$\dfrac{−0.015}{−0.01}∫e^u\,du=1.5∫e^u\,du=1.5e^u+C=1.5e^{−0.01}x+C. \nonumber$$

El siguiente paso es resolver para$C$. Sabemos que cuando el precio es de $2.35 por tubo, la demanda es de$50$ tubos por semana. Esto significa

$$p(50)=1.5e^{−0.01(50)}+C=2.35. \nonumber$$

Ahora, solo resuelva para$C$:

$$C=2.35−1.5e^{−0.5}=2.35−0.91=1.44. \nonumber$$

Así,

$$p(x)=1.5e^{−0.01x}+1.44. \nonumber$$

Si el supermercado vende$100$ tubos de pasta de dientes por semana, el precio sería

$$p(100)=1.5e−0.01(100)+1.44=1.5e−1+1.44≈1.99. \nonumber$$

El supermercado debe cobrar $1.99 por tubo si está vendiendo$100$ tubos por semana.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Evaluating a Definite Integral Involving an Exponential Function

Evaluar la integral definida$\displaystyle ∫^2_1e^{1−x}\,dx.$

Solución

Nuevamente, la sustitución es el método a utilizar. Que$u=1−x,$ así$\,du=−1\,dx$ o$−\,du=\,dx$. Entonces$\displaystyle ∫e^{1−x}\,dx=−∫e^u\,du.$

A continuación, cambiar los límites de la integración. Usando la ecuación$u=1−x$, tenemos:

$$\text{When }x = 1, \quad u=1−(1)=0, \nonumber$$

$$\text{and when }x = 2, \quad u=1−(2)=−1. \nonumber$$

La integral se convierte entonces

$$\begin{align*} ∫^2_1e^{1−x}\,\,dx &= −∫^{−1}_0e^u\,\,du \\[4pt] &=∫^0_{−1}e^u\,\,du \\[4pt] &=e^u\bigg|^0_{−1}=e^0−(e^{−1}) \\[4pt] &=−e^{−1}+1. \end{align*}$$

Ver Figura$\PageIndex{2}$.

Figura$\PageIndex{2}$: El área indicada se puede calcular evaluando una integral definida mediante sustitución.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Evaluar$\displaystyle ∫^2_0e^{2x}\,dx.$

Pista

Let$u=2x.$

Contestar

$\displaystyle \frac{1}{2}∫^4_0e^u\,du=\dfrac{1}{2}(e^4−1)$

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Growth of Bacteria in a Culture

Supongamos que la tasa de crecimiento de bacterias en una placa de Petri viene dada por$q(t)=3^t$, donde$t$ se da en horas y$q(t)$ se da en miles de bacterias por hora. Si un cultivo comienza con$10,000$ bacterias, encuentra una función$Q(t)$ que dé el número de bacterias en la placa de Petri en cualquier momento$t$. ¿Cuántas bacterias hay en el plato después de$2$ horas?

Solución

Tenemos

$$Q(t)=∫3^tdt=\dfrac{3^t}{\ln 3}+C. \nonumber$$

Entonces, en$Q(0)=10=\dfrac{1}{\ln 3}+C,$ lo$t=0$ tenemos$C≈9.090$ y conseguimos

$$Q(t)=\dfrac{3^t}{\ln 3}+9.090. \nonumber$$

En el momento$t=2$, tenemos

$$\begin{align*} Q(2) &=\dfrac{3^2}{\ln 3}+9.090 \\[4pt] &\approx 17.282. \end{align*}$$

Después de 2 horas, hay 17.282 bacterias en el platillo.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

De Ejemplo, supongamos que las bacterias crecen a un ritmo de$q(t)=2^t$. Supongamos que el cultivo aún comienza con$10,000$ bacterias. Encuentra$Q(t)$. ¿Cuántas bacterias hay en el plato después de$3$ horas?

Pista

Utilice el procedimiento de Ejemplo$\PageIndex{6}$ para resolver el problema

Contestar

$$\begin{align*} Q(t) &= \dfrac{2^t}{\ln 2} + 8.557. \\[4pt] Q(3) &\approx 20,099 \end{align*}$$

Por lo que hay$20,099$ bacterias en el plato después de$3$ horas.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Fruit Fly Population Growth

Supongamos que una población de moscas de la fruta aumenta a un ritmo de$g(t)=2e^{0.02t}$, en moscas por día. Si la población inicial de moscas de la fruta son$100$ moscas, ¿cuántas moscas hay en la población después de$10$ días?

Solución

Dejar$G(t)$ representar el número de moscas en la población en el momento$t$. Aplicando el teorema del cambio neto, tenemos

$$\begin{align*} G(10)=G(0)+∫^{10}_02e^{0.02t}\,dt \\[4pt] &=100+\left[\dfrac{2}{0.02}e^{0.02t}\right]∣^{10}_0 \\[4pt] &=100+\left[100e^{0.02t}\right]∣^{10}_0 \\[4pt] &=100+100e^{0.2}−100 \\[4pt] &≈122. \end{align*}$$

Hay$122$ moscas en la población después de$10$ días.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Supongamos que la tasa de crecimiento de la población de moscas viene dada por$g(t)=e^{0.01t},$ y la población inicial de$100$ moscas es moscas. ¿Cuántas moscas hay en la población después de$15$ días?

Pista

Utilice el proceso de Ejemplo$\PageIndex{7}$ para resolver el problema.

Contestar

Hay$116$ moscas.

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Evaluating a Definite Integral Using Substitution

Evaluar la integral definida mediante sustitución: $$∫^2_1\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\,dx.\nonumber$$

Solución

Este problema requiere algo de reescritura para simplificar la aplicación de las propiedades. Primero, reescribe el exponente en e como una potencia de$x$, luego lleva el$x^2$ en el denominador hasta el numerador usando un exponente negativo. Tenemos

$$∫^2_1\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\,\,dx=∫^2_1e^{x^{−1}}x^{−2}\,dx. \nonumber$$

Deja que$u=x^{−1},$ el exponente se ponga en marcha$e$. Entonces

$$du=−x^{−2}\,dx \nonumber$$

$$−du=x^{−2}\,dx. \nonumber$$

Llevando el signo negativo fuera del signo integral, el problema ahora dice

$$−∫e^u\,du. \nonumber$$

A continuación, cambie los límites de la integración:

$$u=(1)^{−1}=1 \nonumber$$

$$u=(2)^{−1}=\dfrac{1}{2}. \nonumber$$

Observe que ahora los límites comienzan con el número mayor, lo que significa que podemos multiplicar por$−1$ e intercambiar los límites. Así,

$$−∫^{1/2}_1e^u\,du=∫^1_{1/2}e^u\,du=e^u\big|^1_{1/2}=e−e^{1/2}=e−\sqrt{e}.\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Evaluar la integral definida mediante sustitución: $$∫^2_1\dfrac{1}{x^3}e^{4x^{−2}}\,dx.\nonumber$$

Pista

Let$u=4x^{−2}.$

Contestar

$\displaystyle ∫^2_1\dfrac{1}{x^3}e^{4x^{−2}}\,dx=\dfrac{1}{8}[e^4−e]$.

Integrales que involucran funciones logarítmicas

Integrar funciones del formulario$f(x)=x^{−1}$ dan como resultado el valor absoluto de la función logarítmica natural, como se muestra en la siguiente regla. Las fórmulas integrales para otras funciones logarítmicas, como$f(x)=\ln x$ y$f(x)=\log_a x$, también se incluyen en la regla.

Regla: Fórmulas de integración con funciones logarítmicas

Las siguientes fórmulas se pueden utilizar para evaluar integrales que involucran funciones logarítmicas.

$$\begin{align*} ∫x^{−1}\,dx &=\ln |x|+C \\[4pt] ∫\ln x\,\,dx &= x\ln x−x+C =x (\ln x−1)+C \\[4pt] ∫\log_a x\,dx &=\dfrac{x}{\ln a}(\ln x−1)+C \end{align*}$$

Ejemplo$\PageIndex{9}$: Finding an Antiderivative Involving $\ln x$

Encuentra la antiderivada de la función$\dfrac{3}{x−10}.$

Solución

Primero factoriza el$3$ exterior del símbolo integral. Entonces usa la$u^{−1}$ regla. Así,

$$∫\dfrac{3}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{1}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{du}{u}=3\ln |u|+C=3\ln |x−10|+C,\quad x≠10. \nonumber$$

Ver Figura$\PageIndex{3}$.

Figura$\PageIndex{3}$: El dominio de esta función es$x \neq 10.$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Encuentra el antiderivado de$\dfrac{1}{x+2}.$

Pista

Sigue el patrón de Ejemplo$\PageIndex{9}$ para resolver el problema.

Contestar

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x+2}\,dx = \ln |x+2|+C$

Ejemplo$\PageIndex{10}$: Finding an Antiderivative of a Rational Function

Encuentra el antiderivado de$\dfrac{2x^3+3x}{x^4+3x^2}.$

Solución

Esto se puede reescribir como Sustitución de$\displaystyle ∫(2x^3+3x)(x^4+3x^2)^{−1}\,dx.$ uso.

Vamos$u=x^4+3x^2$, luego$du=(4x^3+6x)\,dx.$ Alter$du$ factorizando el$2$. Así,

$$du=(4x^3+6x)\,dx=2(2x^3+3x)\,dx \nonumber$$

$$\dfrac{1}{2}\,du=(2x^3+3x)\,dx. \nonumber$$

Reescribe el integrando en$u$:

$$∫(2x^3+3x)(x^4+3x^2)^{−1}\,dx=\dfrac{1}{2}∫u^{−1}\,du. \nonumber$$

Entonces tenemos

$$\dfrac{1}{2}∫u^{−1}\,du=\dfrac{1}{2}\ln |u|+C=\dfrac{1}{2}\ln ∣x^4+3x^2∣+C. \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{11}$: Finding an Antiderivative of a Logarithmic Function

Encuentra el antiderivado de la función log$\log_2 x.$

Solución

Siga el formato en la fórmula listada en la regla sobre fórmulas de integración que involucran funciones logarítmicas. En base a este formato, tenemos

$$∫\log_2 x\,dx=\dfrac{x}{\ln 2}(\ln x−1)+C.\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Encuentra el antiderivado de$\log_3 x$.

Pista

Siga Ejemplo$\PageIndex{11}$ y consulte la regla sobre fórmulas de integración que involucran funciones logarítmicas.

Contestar

$\displaystyle ∫\log_3 x\,dx=\dfrac{x}{\ln 3}(\ln x−1)+C$

Ejemplo$\PageIndex{12}$ es una integral definitiva de una función trigonométrica. Con funciones trigonométricas, a menudo tenemos que aplicar una propiedad trigonométrica o una identidad antes de poder avanzar. Encontrar la forma correcta del integrando suele ser la clave para una integración fluida.

Ejemplo$\PageIndex{12}$: Evaluating a Definite Integral

Evaluar la integral definida $$∫^{π/2}_0\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx.\nonumber$$

Solución

Necesitamos sustitución para evaluar este problema. Que$u=1+\cos x$ así$du=−\sin x\,\,dx.$

Reescribir la integral en términos de$u$, cambiando los límites de la integración también. Así,

$$\begin{align*} u &= 1+\cos(0)=2 \\[4pt] u &=1+\cos \left(\dfrac{π}{2}\right)=1.\end{align*}$$

Entonces

$$\begin{align*}∫^{π/2}_0\dfrac{\sin x}{1+\cos x} &=−∫^1_2 u^{−1}\,du \\[4pt] &=∫^2_1u^{−1}\,du \\[4pt] &=\ln |u|\,\bigg|^2_1 \\[4pt] &=[\ln 2−\ln 1]=\ln 2 \end{align*}$$

Conceptos clave

• Las funciones exponenciales y logarítmicas surgen en muchas aplicaciones del mundo real, especialmente aquellas que involucran crecimiento y decadencia.
• La sustitución se utiliza a menudo para evaluar integrales que involucran funciones exponenciales o logaritmos.

Ecuaciones Clave

• Integrales de funciones exponenciales

$$∫e^x\,dx=e^x+C \nonumber$$

$$\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C \nonumber$$

• Fórmulas de integración que implican funciones logarí

$$∫x^{−1}\,dx=\ln |x|+C \nonumber$$

$$∫\ln x\,dx=x\ln x−x+C=x(\ln x−1)+C \nonumber$$

$$∫\log_a x\,dx=\dfrac{x}{\ln a}(\ln x−1)+C \nonumber$$