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# 12.8: Capítulo 12 Ejercicios de revisión

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Para los ejercicios 1 - 4, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Justificar la respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Para vectores$$\vecs a$$$$\vecs b$$ y y cualquier escalar dado$$c, \, c(\vecs a⋅\vecs b)=(c\vecs a)⋅\vecs b.$$

Responder
Cierto; Ver prueba en la Sección 11.3

2) Para vectores$$\vecs a$$$$\vecs b$$ y y cualquier escalar dado$$c, \, c(\vecs a×\vecs b)=(c\vecs a)×\vecs b$$.

3) La ecuación simétrica para la línea de intersección entre dos planos$$x+y+z=2$$ y$$x+2y−4z=5$$ viene dada por$$−\frac{x−1}{6}=\frac{y−1}{5}=z.$$

Responder
False, convirtiendo las ecuaciones simétricas anteriores a las ecuaciones paramétricas de la línea, obtenemos:
$$x = 1 - 6t$$
$$y = 1 + 5t$$
$$z = t$$

Si esta línea se encuentra en cada plano, deberíamos obtener una identidad (como 5 = 5) cuando sustituir cada expresión de$$t$$ en la ecuación de cada plano.

Sustituyendo en la ecuación del primer plano, obtenemos:$$(1-6t) + (1+5t) + t = 2\,\checkmark$$

Así sabemos que esta línea sí se encuentra en el primer plano.

Pero cuando sustituimos en la ecuación del segundo plano, obtenemos:$$(1 - 6t) + 2(1 + 5t) - 4(t) = 1 - 6t + 2 + 10t - 4t = 3 \neq 5$$

Como no obtenemos una identidad, sabemos que esta línea no está en el segundo plano y por lo tanto no puede ser la línea de intersección del dos planos.

4) Si$$\vecs a⋅\vecs b=0,$$ entonces$$\vecs a$$ es perpendicular a$$\vecs b$$.

Responder
False, ya que$$\vecs a$$ o también$$\vecs b$$ podría ser el vector cero.

Para los ejercicios 5 y 6, usa los vectores dados para encontrar las cantidades.

5)$$\vecs a=9\hat{\mathbf{i}}−2\hat{\mathbf{j}},\quad \vecs b=−3\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{k}}$$

a.$$3\vecs a+\vecs b$$

b.$$\|\vecs a\|$$

c.$$\vecs a×\|\vecs b×\vecs a\|$$

d.$$\|\vecs b×\vecs a\|$$

Responder
a.$$⟨24,−6, 1⟩$$
b.$$\sqrt{85}$$
c. No se puede cruzar un vector con un escalar
d.$$11$$

6)$$\vecs a=2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}−9\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs b=−\hat{\mathbf{i}}+2\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs c=4\hat{\mathbf{i}}−2\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}$$

a.$$2\vecs a−\vecs b$$

b.$$\|\vecs b×\vecs c\|$$

c.$$\vecs b×\left(\vecs b×\vecs c\right)$$

d.$$\vecs c×\|\vecs b×\vecs a\|$$

e.$$\text{Proj}_\vecs{a}\vecs b$$

7) Encontrar los valores de$$a$$ tal que los vectores$$⟨2,4,a⟩$$ y$$⟨0,−1,a⟩$$ son ortogonales.

Responder
$$a=±2$$

Para los ejercicios 8 y 9, encuentra los vectores unitarios.

8) Encuentra el vector unitario que tiene la misma dirección que el vector$$\vecs v$$ que comienza en$$(0,−3)$$ y termina en$$(4,10).$$

9) Encuentra el vector unitario que tiene la misma dirección que el vector$$\vecs v$$ que comienza en$$(1,4,10)$$ y termina en$$(3,0,4).$$

Responder
$$⟨\frac{1}{\sqrt{14}},−\frac{2}{\sqrt{14}},−\frac{3}{\sqrt{14}}⟩ = ⟨\frac{\sqrt{14}}{14},−\frac{\sqrt{14}}{7},−\frac{3\sqrt{14}}{14}⟩$$

Para los ejercicios 10 y 11, encuentra el área o volumen de las formas dadas.

10) El paralelogramo abarcado por vectores$$\vecs a=⟨1,13⟩$$ y$$\vecs b=⟨3,21⟩$$

11) El paralelepípedo formado por$$\vecs a=⟨1,4,1⟩$$ y$$\vecs b=⟨3,6,2⟩,$$ y$$\vecs c=⟨−2,1,−5⟩$$

Responder
$$27$$unidades$$^2$$

Para los ejercicios 12 y 13, encuentra las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial de la línea con las propiedades dadas.

12) La línea que pasa por el punto$$(2,−3,7)$$ que es paralelo al vector$$⟨1,3,−2⟩$$

13) La línea que pasa por puntos$$(1,3,5)$$ y$$(−2,6,−3)$$

Responder
$$x=1−3t,y=3+3t,z=5−8t,\quad \vecs r(t)=(1−3t)\hat{\mathbf{i}}+3(1+t)\hat{\mathbf{j}}+(5−8t)\hat{\mathbf{k}}$$

Para los ejercicios 14 y 15, encuentra la ecuación del plano con las propiedades dadas.

14) El plano que pasa por el punto$$(4,7,−1)$$ y tiene vector normal$$\vecs n=⟨3,4,2⟩$$

15) El plano que pasa por puntos$$(0,1,5),(2,−1,6),$$ y$$(3,2,5).$$

Responder
$$−x+3y+8z=43$$

Para los ejercicios 16 y 17, encuentra las trazas para las superficies en planos$$x=k,y=k$$, y$$z=k.$$ luego, describe y dibuja las superficies.

16)$$9x^2+4y^2−16y+36z^2=20$$

17)$$x^2=y^2+z^2$$

Responder
$$x=k$$trace:$$k^2=y^2+z^2$$ es un círculo,$$y=k$$ trace:$$x^2−z^2=k^2$$ es una hipérbola (o un par de líneas si$$k=0), z=k$$ trace:$$x^2−y^2=k^2$$ es una hipérbola (o un par de líneas si$$k=0$$). La superficie es un cono.

Para los ejercicios 18 y 19, escriba la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas.

18)$$x^2+y^2+z^2=144$$

19)$$z=x^2+y^2−1$$

Responder
Cilíndrica:$$z=r^2−1,$$ esférica$$\cos φ=ρ\sin^2 φ−\frac{1}{ρ}$$

Para los ejercicios 20 y 21, convierta las ecuaciones dadas de coordenadas cilíndricas o esféricas a coordenadas rectangulares. Identificar la superficie dada.

20)$$ρ^2(\sin^2(φ)−\cos^2(φ))=1$$

21)$$r^2−2r\cos(θ)+z^2=1$$

Responder
$$x^2−2x+y^2+z^2=1$$, esfera

Para los ejercicios 22 y 23, considera un bote pequeño que cruza un río.

22) Si la velocidad de la embarcación es$$5$$ km/h hacia el norte en aguas tranquilas y el agua tiene una corriente de$$2$$ km/h con respecto al oeste (ver la siguiente figura), ¿cuál es la velocidad de la embarcación relativa a la orilla? ¿Cuál es el ángulo por el$$θ$$ que está viajando realmente el barco?

23) Cuando la embarcación llega a la orilla, se lanzan dos cuerdas a la gente para ayudar a tirar del bote a tierra. Una cuerda está en un ángulo de$$25°$$ y la otra está en$$35°$$. Si la embarcación debe ser jalada recta y con una fuerza de$$500$$ N, encuentre la magnitud de la fuerza para cada cuerda (ver la siguiente figura).

Responder
331 N y 244 N

24) Un avión vuela en dirección a 52° este de norte con una velocidad de 450 mph. Un viento fuerte tiene un rumbo 33° al este del norte con una velocidad de 50 mph. ¿Cuál es la velocidad de avance resultante y el rumbo del avión?

25) Calcular el trabajo realizado moviendo una partícula de posición$$(1,2,0)$$ a$$(8,4,5)$$ lo largo de una línea recta con una fuerza$$\vecs F=2\hat{\mathbf{i}}+3\hat{\mathbf{j}}−\hat{\mathbf{k}}.$$

Responder
$$15$$J

En los problemas 26 y 27, considere su intento fallido de quitar la llanta de su automóvil usando una llave para aflojar los tornillos. Suponga que la llave es de$$0.3$$ m de largo y puede aplicar una fuerza de 200-N.

26) Debido a que tu llanta está desplana, solo puedes aplicar tu fuerza en$$60°$$ ángulo. ¿Cuál es el par en el centro del perno? Supongamos que esta fuerza no es suficiente para aflojar el perno.

27) Alguien te presta un gato de llantas y ahora puedes aplicar una fuerza de 200-N en$$80°$$ ángulo. ¿Su par resultante va a ser más o menos? ¿Cuál es el nuevo par resultante en el centro del perno? Supongamos que esta fuerza no es suficiente para aflojar el perno.

Responder
Más,$$59.09$$ J

## Colaboradores

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