12.8: Capítulo 12 Ejercicios de revisión

Para los ejercicios 1 - 4, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Justificar la respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Para vectores$\vecs a$$\vecs b$ y y cualquier escalar dado$c, \, c(\vecs a⋅\vecs b)=(c\vecs a)⋅\vecs b.$

Responder

Cierto; Ver prueba en la Sección 11.3

2) Para vectores$\vecs a$$\vecs b$ y y cualquier escalar dado$c, \, c(\vecs a×\vecs b)=(c\vecs a)×\vecs b$.

3) La ecuación simétrica para la línea de intersección entre dos planos$x+y+z=2$ y$x+2y−4z=5$ viene dada por$−\frac{x−1}{6}=\frac{y−1}{5}=z.$

Responder

False, convirtiendo las ecuaciones simétricas anteriores a las ecuaciones paramétricas de la línea, obtenemos:
$x = 1 - 6t$
$y = 1 + 5t$
$z = t$

Si esta línea se encuentra en cada plano, deberíamos obtener una identidad (como 5 = 5) cuando sustituir cada expresión de$t$ en la ecuación de cada plano.

Sustituyendo en la ecuación del primer plano, obtenemos:$(1-6t) + (1+5t) + t = 2\,\checkmark$

Así sabemos que esta línea sí se encuentra en el primer plano.

Pero cuando sustituimos en la ecuación del segundo plano, obtenemos:$(1 - 6t) + 2(1 + 5t) - 4(t) = 1 - 6t + 2 + 10t - 4t = 3 \neq 5$

Como no obtenemos una identidad, sabemos que esta línea no está en el segundo plano y por lo tanto no puede ser la línea de intersección del dos planos.

4) Si$\vecs a⋅\vecs b=0,$ entonces$\vecs a$ es perpendicular a$\vecs b$.

Responder

False, ya que$\vecs a$ o también$\vecs b$ podría ser el vector cero.

Para los ejercicios 5 y 6, usa los vectores dados para encontrar las cantidades.

5)$\vecs a=9\hat{\mathbf{i}}−2\hat{\mathbf{j}},\quad \vecs b=−3\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{k}}$

a.$3\vecs a+\vecs b$

b.$\|\vecs a\|$

c.$\vecs a×\|\vecs b×\vecs a\|$

d.$\|\vecs b×\vecs a\|$

Responder

a.$⟨24,−6, 1⟩$
b.$\sqrt{85}$
c. No se puede cruzar un vector con un escalar
d.$11$

6)$\vecs a=2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}−9\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs b=−\hat{\mathbf{i}}+2\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs c=4\hat{\mathbf{i}}−2\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}$

a.$2\vecs a−\vecs b$

b.$\|\vecs b×\vecs c\|$

c.$\vecs b×\left(\vecs b×\vecs c\right)$

d.$\vecs c×\|\vecs b×\vecs a\|$

e.$\text{Proj}_\vecs{a}\vecs b$

7) Encontrar los valores de$a$ tal que los vectores$⟨2,4,a⟩$ y$⟨0,−1,a⟩$ son ortogonales.

Responder

$a=±2$

Para los ejercicios 8 y 9, encuentra los vectores unitarios.

8) Encuentra el vector unitario que tiene la misma dirección que el vector$\vecs v$ que comienza en$(0,−3)$ y termina en$(4,10).$

9) Encuentra el vector unitario que tiene la misma dirección que el vector$\vecs v$ que comienza en$(1,4,10)$ y termina en$(3,0,4).$

Responder

$⟨\frac{1}{\sqrt{14}},−\frac{2}{\sqrt{14}},−\frac{3}{\sqrt{14}}⟩ = ⟨\frac{\sqrt{14}}{14},−\frac{\sqrt{14}}{7},−\frac{3\sqrt{14}}{14}⟩$

Para los ejercicios 10 y 11, encuentra el área o volumen de las formas dadas.

10) El paralelogramo abarcado por vectores$\vecs a=⟨1,13⟩$ y$\vecs b=⟨3,21⟩$

11) El paralelepípedo formado por$\vecs a=⟨1,4,1⟩$ y$\vecs b=⟨3,6,2⟩,$ y$\vecs c=⟨−2,1,−5⟩$

Responder

$27$unidades$^2$

Para los ejercicios 12 y 13, encuentra las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial de la línea con las propiedades dadas.

12) La línea que pasa por el punto$(2,−3,7)$ que es paralelo al vector$⟨1,3,−2⟩$

13) La línea que pasa por puntos$(1,3,5)$ y$(−2,6,−3)$

Responder

$x=1−3t,y=3+3t,z=5−8t,\quad \vecs r(t)=(1−3t)\hat{\mathbf{i}}+3(1+t)\hat{\mathbf{j}}+(5−8t)\hat{\mathbf{k}}$

Para los ejercicios 14 y 15, encuentra la ecuación del plano con las propiedades dadas.

14) El plano que pasa por el punto$(4,7,−1)$ y tiene vector normal$\vecs n=⟨3,4,2⟩$

15) El plano que pasa por puntos$(0,1,5),(2,−1,6),$ y$(3,2,5).$

Responder

$−x+3y+8z=43$

Para los ejercicios 16 y 17, encuentra las trazas para las superficies en planos$x=k,y=k$, y$z=k.$ luego, describe y dibuja las superficies.

16)$9x^2+4y^2−16y+36z^2=20$

17)$x^2=y^2+z^2$

Responder

$x=k$trace:$k^2=y^2+z^2$ es un círculo,$y=k$ trace:$x^2−z^2=k^2$ es una hipérbola (o un par de líneas si$k=0), z=k$ trace:$x^2−y^2=k^2$ es una hipérbola (o un par de líneas si$k=0$). La superficie es un cono.

Para los ejercicios 18 y 19, escriba la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas.

18)$x^2+y^2+z^2=144$

19)$z=x^2+y^2−1$

Responder

Cilíndrica:$z=r^2−1,$ esférica$\cos φ=ρ\sin^2 φ−\frac{1}{ρ}$

Para los ejercicios 20 y 21, convierta las ecuaciones dadas de coordenadas cilíndricas o esféricas a coordenadas rectangulares. Identificar la superficie dada.

20)$ρ^2(\sin^2(φ)−\cos^2(φ))=1$

21)$r^2−2r\cos(θ)+z^2=1$

Responder

$x^2−2x+y^2+z^2=1$, esfera

Para los ejercicios 22 y 23, considera un bote pequeño que cruza un río.

22) Si la velocidad de la embarcación es$5$ km/h hacia el norte en aguas tranquilas y el agua tiene una corriente de$2$ km/h con respecto al oeste (ver la siguiente figura), ¿cuál es la velocidad de la embarcación relativa a la orilla? ¿Cuál es el ángulo por el$θ$ que está viajando realmente el barco?

23) Cuando la embarcación llega a la orilla, se lanzan dos cuerdas a la gente para ayudar a tirar del bote a tierra. Una cuerda está en un ángulo de$25°$ y la otra está en$35°$. Si la embarcación debe ser jalada recta y con una fuerza de$500$ N, encuentre la magnitud de la fuerza para cada cuerda (ver la siguiente figura).

Responder

331 N y 244 N

24) Un avión vuela en dirección a 52° este de norte con una velocidad de 450 mph. Un viento fuerte tiene un rumbo 33° al este del norte con una velocidad de 50 mph. ¿Cuál es la velocidad de avance resultante y el rumbo del avión?

25) Calcular el trabajo realizado moviendo una partícula de posición$(1,2,0)$ a$(8,4,5)$ lo largo de una línea recta con una fuerza$\vecs F=2\hat{\mathbf{i}}+3\hat{\mathbf{j}}−\hat{\mathbf{k}}.$

Responder

$15$J

En los problemas 26 y 27, considere su intento fallido de quitar la llanta de su automóvil usando una llave para aflojar los tornillos. Suponga que la llave es de$0.3$ m de largo y puede aplicar una fuerza de 200-N.

26) Debido a que tu llanta está desplana, solo puedes aplicar tu fuerza en$60°$ ángulo. ¿Cuál es el par en el centro del perno? Supongamos que esta fuerza no es suficiente para aflojar el perno.

27) Alguien te presta un gato de llantas y ahora puedes aplicar una fuerza de 200-N en$80°$ ángulo. ¿Su par resultante va a ser más o menos? ¿Cuál es el nuevo par resultante en el centro del perno? Supongamos que esta fuerza no es suficiente para aflojar el perno.

Responder

Más,$59.09$ J

Colaboradores

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