13.1E: Ejercicios para la Sección 13.1

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Introducción a las funciones vectorizadas

1) Dar las funciones del componente$x=f(t)$ y$y=g(t)$ para la función de valor vectorial$\vecs r(t)=3 \sec t \, \hat{\mathbf{i}}+2 \tan t \,\hat{\mathbf{j}}$.

Contestar: Aquí podemos decir eso$f(t)=3 \sec t, \quad g(t)=2 \tan t$

así lo tenemos$x(t)=3 \sec t, \quad y(t)=2 \tan t$.

2) Dado$\vecs r(t)=3 \sec t \hat{\mathbf{i}}+2 \tan t \hat{\mathbf{j}}$, encuentre los siguientes valores (si es posible).

$\vecs r(\frac{\pi}{4})$
$\vecs r(\pi)$
$\vecs r(\frac{\pi}{2})$

3) Esbozar la curva de la función vectorizada$ \vecs r(t)=3 \sec t \hat{\mathbf{i}}+2 \tan t \hat{\mathbf{j}}$ y dar la orientación de la curva. Esbozar asíntotas como guía para la gráfica.

Contestar: $Sendero hiperbólico a lo largo de una hipérbola orientada horizontalmente.$

Límites de las funciones valoradas por vectores

4) Evaluar$\lim \limits_{t \to 0}\left(e^t \hat{\mathbf{i}}+\frac{\sin t}{t} \hat{\mathbf{j}}+e^{−t} \hat{\mathbf{k}}\right)$

5) Dada la función vector-valuada$\vecs r(t)=⟨\cos t,\sin t⟩$ encontrar los siguientes valores:

$\lim \limits_{t \to \frac{\pi}{4}} \vecs r(t)$
$\vecs r(\frac{\pi}{3})$
¿Es$\vecs r(t)$ continuo en$t=\frac{\pi}{3}$?
Gráfica$\vecs r(t)$.

Contestar

a.$⟨\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}⟩$,
b.$⟨\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}⟩$,
c. Sí, el límite a medida que t$\mathrm{\frac{\pi}{3}}$ se acerca es igual a$\mathrm{r(\frac{\pi}{3})}$,
d.

$Trayectoria orientada en sentido antihorario en el círculo unitario.$

6) Dada la función vectorizada$\vecs r(t)=⟨t,t^2+1⟩$, encuentre los siguientes valores:

$\lim \limits_{t \to -3} \vecs r(t)$
$\vecs r(−3)$
¿Es$\vecs r(t)$ continuo en$x=−3$?
$\vecs r(t+2)−\vecs r(t)$

7) Dejar$\vecs r(t)=e^t \hat{\mathbf{i}}+\sin t \hat{\mathbf{j}}+\ln t \hat{\mathbf{k}}$. Encuentra los siguientes valores:

$\vecs r(\frac{\pi}{4})$
$\lim \limits_{t \to \frac{\pi}{4} } \vecs r(t)$
¿Es$\vecs r(t)$ continuo en$t=\frac{\pi}{4}$?

Contestar: a.$e^{\frac{\pi}{4}},\frac{\sqrt{2}}{2},\ln (\frac{\pi}{4})$ ⟩;
b.$e^{\frac{\pi}{4}},\frac{\sqrt{2}}{2},\ln (\frac{\pi}{4})$ ⟩;
c. Si

Para los ejercicios 8 - 13, encuentre el límite de las siguientes funciones vectorizadas en el valor indicado de$t$.

8)$\lim \limits_{t \to 4}⟨\sqrt{t−3},\frac{\sqrt{t}−2}{t−4},\tan(\frac{\pi}{t})⟩$

9)$\lim \limits_{t \to \frac{\pi}{2}} \vecs r(t)$ para$\vecs r(t)=e^t \hat{\mathbf{i}}+\sin t \hat{\mathbf{j}}+\ln t \hat{\mathbf{k}}$

Contestar: $⟨e^{\frac{\pi}{2}},1,\ln(\frac{\pi}{2})⟩$

10)$\lim \limits_{t \to \infty}⟨e^{−2t},\frac{2t+3}{3t−1},\arctan(2t)⟩$

11)$\lim \limits_{t \to e^2}⟨t \ln (t),\frac{\ln t}{t^2},\sqrt{\ln(t^2)⟩}$

Contestar: $2e^2 \hat{\mathbf{i}}+\frac{2}{e^4}\hat{\mathbf{j}}+2\hat{\mathbf{k}}$

12)$\lim \limits_{t \to \frac{\pi}{6}}⟨\cos 2t,\sin 2t,1⟩$

13)$\lim \limits_{t \to \infty} \vecs r(t)$ para$\vecs r(t)=2e^{−t} \mathbf{ i}+e^{−t} \hat{\mathbf{j}}+\ln(t−1) \hat{\mathbf{k}}$

Contestar: El límite no existe porque el límite de$\ln(t−1)$ como se$t$ acerca al infinito no existe.

Dominio de una función valorada por vector

Para los problemas 14 - 17, encuentre el dominio de las funciones vectorizadas.

14) Dominio:$\vecs r(t)=⟨t^2,t,\sin t⟩$

15) Dominio:$\vecs r(t)=⟨t^2,\tan t,\ln t⟩$

Contestar: $\text{D}_{\vecs r} = \left \{ t \,|\, t>0,t≠(2k+1)\frac{\pi}{2}, \, \text{where} \, k \,\text{is any integer} \right \}$

16) Dominio:$\vecs r(t)=⟨t^2,\sqrt{t−3},\frac{3}{2t+1}⟩$

17) Dominio:$\vecs r(t)=⟨\csc(t),\frac{1}{\sqrt{t−3}}, \ln(t−2)⟩$

Contestar: $\text{D}_{\vecs r} = \left \{ t \,|\, t>3,t≠n\pi, \, \text{where} \, n \,\text{is any integer} \right \}$

18) a. encontrar el dominio de$\vecs r(t)=2e^{-t} \hat{\mathbf{i}}+e^{−t}\hat{\mathbf{j}}+\ln(t−1)\hat{\mathbf{k}}$.

b. ¿Para qué valores de$t$ es$\vecs r(t)=2e^{-t} \hat{\mathbf{i}}+e^{−t}\hat{\mathbf{j}}+\ln(t−1)\hat{\mathbf{k}}$ continuo?

Contestar: a.$\text{D}_{\vecs r}: ( 1, \infty )$
b. Todo$t$ tal que$t∈(1,\infty)$

19) Dominio:$\vecs r(t)=(\arccos t) \, \hat{\mathbf{i}} + \sqrt{2t−1} \, \hat{\mathbf{j}}+\ln(t) \, \hat{\mathbf{k}}$

Contestar: $\text{D}_{\vecs r}: \big[ \frac{1}{2}, 1 \big]$

Visualización de funciones valoradas por vectores

20) Describir la curva definida por la función vectorizada$\vecs r(t)=(1+t)\hat{\mathbf{i}}+(2+5t)\hat{\mathbf{j}}+(−1+6t)\hat{\mathbf{k}}$.

21) Déjalo$\vecs r(t)=⟨\cos t,t,\sin t⟩$ y utilízalo para responder a las siguientes preguntas.

¿Para qué valores de$t$ es$\vecs r(t)$ continuo?
Esbozar la gráfica de$\vecs r(t)$.

Contestar: a.$\vecs r$ es continuo para todos los números reales, es decir, para$t \in \mathbb{R}$.
b. tenga en cuenta que debe haber a$z$ en el eje vertical en la sección transversal en la imagen (a) de abajo en lugar de la$y$.

$La imagen superior muestra la trayectoria orientada en sentido antihorario en el círculo unitario. La imagen inferior muestra la trayectoria del sacacorchos con la coordenada z que varía a medida que el movimiento circular continúa como en la imagen de arriba.$

22) Producir un boceto cuidadoso de la gráfica de$\vecs r(t) = t^2 \, \hat{\mathbf{i}} + t \, \hat{\mathbf{j}}$.

En las preguntas 23 a 25, utilice una utilidad gráfica para esbozar cada una de las funciones vectorizadas:

23) [T]$\vecs r(t)=2 \cos^2 t \hat{\mathbf{i}}+(2−\sqrt{t})\hat{\mathbf{j}}$

Contestar

24) [T]$\vecs r(t)=⟨e^{\cos (3t)},e^{−\sin(t)}⟩$

25) [T]$\vecs r(t)=⟨2−\sin (2t),3+2 \cos t⟩$

Contestar: $Un camino orientado a la figura ocho.$

Encontrar ecuaciones en$x$ y$y$ para la trayectoria trazada por funciones vectorizadas

Para las preguntas 26-33, elimine el parámetro$t$, escriba la ecuación en coordenadas cartesianas, luego esboce la gráfica de las funciones vectorizadas.

26)$\vecs r(t)=2t\hat{\mathbf{i}}+t^2 \hat{\mathbf{j}}$
(Pista: Dejar$x=2t$ y$y=t^2$. Resolver la primera ecuación para$t$ en términos de$x$ y sustituir este resultado en la segunda ecuación.)

27)$\vecs r(t)=t^3 \hat{\mathbf{i}}+2t \hat{\mathbf{j}}$

Contestar

$y=2\sqrt[3]{x}$, una variación de la función de raíz de cubo

$La trayectoria orientada a lo largo de la gráfica de y es igual a 2 veces la raíz cúbica de x. El movimiento a lo largo del camino se orienta de izquierda a derecha.$

28)$\vecs r(t)=\sin t\,\hat{\mathbf{i}}+\cos t\,\hat{\mathbf{j}}$

29)$\vecs r(t)=3\cos t\,\hat{\mathbf{i}}+3\sin t\,\hat{\mathbf{j}}$

Contestar

$x^2+y^2=9$, un círculo centrado en$(0,0)$ un radio 3 y una orientación en sentido contrario a las agujas del reloj

$Movimiento en sentido antihorario a lo largo del círculo de radio 3, centrado en el origen.$

30)$\vecs r(t)=⟨ \sin t,4 \cos t⟩$

31)$\vecs r(t)=2\sin t\,\hat{\mathbf{i}}-3\cos t\,\hat{\mathbf{j}}$

Contestar

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$, una elipse centrada en$(0,0)$ con intercepciones en$x = \pm2$ y$y =\pm3$, y una orientación en el sentido de las agujas del reloj

$Elipse con orientación en sentido horario pasando a través de (-2,0), (0, 3), (2, 0), (0, -3)$

32)$\vecs r(t)=\tan t\,\hat{\mathbf{i}}-2\sec t\,\hat{\mathbf{j}}$

33)$\vecs r(t)=3\sec t\,\hat{\mathbf{i}}+4\tan t\,\hat{\mathbf{j}}$

Contestar

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$, una hipérbola centrada en$(0,0)$ con$x$ -intercepciones$(3, 0)$ y$(-3, 0)$, con orientación mostrada

$Hipérbola Orientada$

Encontrar una función con valor vectorial para trazar la gráfica de una ecuación en$x$ y$y$

Para las preguntas 34 - 40, busque una función de valor vectorial que rastrea la curva dada en la dirección indicada.

34)$4x^2+9y^2=36$; en sentido horario y antihorario

35)$y=x^2$; de izquierda a derecha

Contestar: $\vecs r(t)=⟨t,t^2⟩$, donde$t$ aumenta

36) La línea a través$P$ y$Q$ dónde$P$ está$(1,4,−2)$ y$Q$ es$(3,9,6)$

37) El círculo,$x^2 + y^2 = 36$, orientado a las agujas del reloj, con posición$(-6, 0)$ en el tiempo$t = 0$.

Contestar: $\vecs r(t)=-6\cos t\,\hat{\mathbf{i}}+6\sin t\,\hat{\mathbf{j}}$

38) La elipse,$x^2 + \dfrac{y^2}{36} = 1$, orientada en sentido antihorario

Contestar: $\vecs r(t)=\cos t\,\hat{\mathbf{i}}+6\sin t\,\hat{\mathbf{j}}$

39) La hipérbola$\dfrac{y^2}{36} - x^2 = 1$, pieza superior está orientada de izquierda a derecha

Contestar: $\vecs r(t)=\tan t\,\hat{\mathbf{i}}+6\sec t\,\hat{\mathbf{j}}$

40) La hipérbola,$\dfrac{x^2}{49} - \dfrac{y^2}{64} = 1$, la pieza derecha está orientada de abajo hacia arriba

Contestar: $\vecs r(t)=7\sec t\,\hat{\mathbf{i}}+8\tan t\,\hat{\mathbf{j}}$

Parametrización de una ruta por tramos

Para las preguntas 41 a 44, proporcione una parametrización para cada ruta por tramos. Intenta escribir una parametrización que comience con$t = 0$ y progrese a través de valores de a$t$ medida que te mueves de una pieza a otra.

41)

$Límite orientado en sentido contrario a las agujas del reloj de una región cerrada formada por y = x^4 e y es igual a la raíz cúbica de x.$ $Límite orientado a las agujas del reloj de una región cerrada formada por y = x^4 e y es igual a la raíz cúbica de x.$

Contestar: a.$\vecs r_1(t)= t\,\hat{\mathbf{i}} + t^4 \,\hat{\mathbf{j}}$ for$0 \le t \le 1$
$\vecs r_2(t)= -t\,\hat{\mathbf{i}} + \sqrt[3]{-t} \,\hat{\mathbf{j}}$ for$-1 \le t \le 0$

Así que una parametrización por partes de esta ruta es:
\ (\ vecs r (t) =\ begin {cases}
t\,\ hat {\ mathbf {i}} + t^4\,\ hat {\ mathbf {j}}, & 0\ le t\ le 1\\
\ left (2-t\ right)\,\ hat {\ mathbf {i}} +\ sqrt [3] {2-t}\,\ hat {\ mathbf {j}}, & 1\ lt t\ le 2
\ end {cases}\)

b.$\vecs r_1(t)= t\,\hat{\mathbf{i}} + \sqrt[3]{t} \,\hat{\mathbf{j}}$ for$0 \le t \le 1$
$\vecs r_2(t)= -t\,\hat{\mathbf{i}} + (-t)^4 \,\hat{\mathbf{j}}$ for$-1 \le t \le 0$

so a piecewise parametrización de esta ruta es:
\ (\ vecs r (t) =\ begin {cases}
t\,\ hat {\ mathbf {i}} +\ sqrt [3] {t}\,\ hat {\ mathbf {j}}, & 0\ le t\ le 1\\\ left (2-t\ right)\,\ hat {
\ mathbf {i}} +\ left (2-t\ right)\,\ hat {\ mathbf {i} +\ left (2-t\ right)\ t\ derecha) ^4\,\ hat {\ mathbf {j}}, & 1\ lt t\ le 2
\ end {casos}\)

42)

$Límite orientado en sentido contrario a las agujas del reloj de una región cerrada formada por y = x^3 e y = 4x.$ $Límite orientado a las agujas del reloj de una región cerrada formada por y = x^3 e y = 4x.$

43)

$Límite orientado en sentido contrario a las agujas del reloj de una región cerrada formada por y = x^3 e y = 2 - x y el eje x.$ $Límite orientado a las agujas del reloj de una región cerrada formada por y = x^3 e y = 2 - x y el eje x.$

Contestar: a.$\vecs r_1(t)= t\,\hat{\mathbf{i}} +0 \,\hat{\mathbf{j}}$ for for$0 \le t \le 2$
$\vecs r_2(t)= -t\,\hat{\mathbf{i}} + \left(2 + t\right) \,\hat{\mathbf{j}}$$-2 \le t \le -1$
$\vecs r_3(t)= -t\,\hat{\mathbf{i}} + \left(-t\right)^3 \,\hat{\mathbf{j}}$ for$-1 \le t \le 0$

Así que una parametrización por partes de esta ruta es:
\ (\ vecs r (t) =\ begin {cases}
t\,\ hat {\ mathbf {i}}, & 0\ le t\ le 2\\
\ izquierda (4-t\ derecha)\,\ hat {\ mathbf {i}} +\ izquierda (t-2\ derecha)\,\ hat {\ mathbf {j}}, & 2\ lt t\ le 3\
\ izquierda (4-t\ derecha)\,\ hat {\ mathbf {i}} +\ izquierda (4-t\ derecha) ^3\,\ sombrero {\ mathbf {j}}, & 3\ lt t\ le 4
\ end {casos}\)

b.$\vecs r_1(t)= t\,\hat{\mathbf{i}} + t^3 \,\hat{\mathbf{j}}$ for$0 \le t \le 1$
$\vecs r_2(t)= t\,\hat{\mathbf{i}} + \left(2 - t\right) \,\hat{\mathbf{j}}$ for$1 \le t \le 2$
$\vecs r_3(t)= -t\,\hat{\mathbf{i}} + 0 \,\hat{\mathbf{j}}$ for$-2 \le t \le 0$

Así que una parametrización por partes de esta ruta es:
\ (\ vecs r (t) =\ begin {cases}
t\,\ hat {\ mathbf {i}} + t^3\,\ hat {\ mathbf {j}}, & 0\ le t\ le 1\\
t\,\ hat {\ mathbf {i}} +\ izquierda (2 - t\ derecha)\,\ hat {\ mathbf {j}}, & 1\ lt t\ le 2\\ izquierda (4-t
\ derecha)\,\ hat {\ mathbf {j} bf {i}}, & 2\ lt t\ le 4
\ fin {casos}\)

44)

$Límite orientado en sentido antihorario de una región cerrada formada por y = 1-x/2 e y = 3x/2 - 3 e y = 1 más la raíz cuadrada de x.$ $Límite orientado a las agujas del reloj de una región cerrada formada por y = 1-x/2 e y = 3x/2 - 3 e y = 1 más la raíz cuadrada de x.$

Preguntas adicionales sobre funciones valoradas por vectores

Para las preguntas 45 a 48, considere la curva descrita por la función vectorizada$\vecs r(t)=(50e^{−t}\cos t)\hat{\mathbf{i}}+(50e^{−t}\sin t)\hat{\mathbf{j}}+(5−5e^{−t})\hat{\mathbf{k}}$.

45) ¿A qué corresponde el punto inicial del camino$\vecs r(0)$?

Contestar: $(50,0,0)$

46) ¿Qué es$\lim \limits_{t \to \infty} \vecs r(t) $?

47) [T] Utilice la tecnología para bosquejar la curva.

Contestar: $Ruta parcial para r (t) = (50e^ (−t) cos t) i+ (50e^ (−t) sin t) j+ (5−5e^ (−t)) k.$

48) Eliminar el parámetro t para mostrar que$z=5−\dfrac{r}{10}$ donde$r^2=x^2+y^2$.

49) [T] Vamos$\vecs r(t)=\cos t \hat{\mathbf{i}}+\sin t\hat{\mathbf{j}}+0.3 \sin (2t)\hat{\mathbf{k}}$. Utilice la tecnología para graficar la curva (llamada curva de montaña rusa) a lo largo del intervalo$[0,2\pi)$. Elija al menos dos vistas para determinar los picos y valles.

Contestar: $Dos vistas del camino trazado por r (t) = (cos t) i + (sin t) j + (0.3 sin 2t) k.$

50) [T] Utilice el resultado del problema anterior para construir una ecuación de una montaña rusa con una caída pronunciada desde el pico e inclinación pronunciada desde el “valle”. Entonces, usa la tecnología para graficar la ecuación.

51) Utilizar los resultados de los dos problemas anteriores para construir una ecuación de un camino de una montaña rusa con más de dos puntos de inflexión (picos y valles).

Contestar

Una posibilidad es$\vecs r(t)=\cos t \hat{\mathbf{i}}+\sin t\hat{\mathbf{j}}+\sin (4t)\hat{\mathbf{k}}$. Al aumentar el coeficiente de$t$ en el tercer componente, aumentará el número de puntos de inflexión.

$Ruta trazada por r (t) = (cos t) i + (sin t) j + (sin 4t) k.$

52) Completar la siguiente investigación.

Grafica la curva$\vecs r(t)=(4+\cos(18t))\cos(t)\hat{\mathbf{i}}+(4+\cos (18t)\sin (t))\hat{\mathbf{j}}+0.3 \sin(18t)\hat{\mathbf{k}}$ usando dos ángulos de visión de tu elección para ver la forma general de la curva.
¿La curva se parece a un “slinky”?
¿Qué cambios se deben hacer en la ecuación para aumentar el número de bobinas del slinky?

Colaboradores

Template:ContribOpenStaxCalc

Paul Seeburger (Monroe Community College) creó los problemas 12, 14, 19, 22, 30-33, 37- 44.