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# 13.5: Capítulo 13 Ejercicios de revisión

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1. Una ecuación paramétrica que pasa por puntos$$P$$ y$$Q$$ puede ser dada por$$\vecs r(t)=⟨t^2,\, 3t+1,\, t−2⟩,$$ dónde$$P(1,4,−1)$$ y$$Q(16,11,2).$$

2. $$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=2\vecs u′(t)×\vecs u(t)$$

Responder
Falso,$$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=\vecs 0.$$

3. La curvatura de un círculo de radio$$r$$ es constante en todas partes. Además, la curvatura es igual a$$1/r.$$

4. La velocidad de una partícula con una función de posición$$\vecs r(t)$$ es$$\dfrac{\vecs r′(t)}{\|\vecs r′(t)\|}.$$

Responder
Falso, es$$\|\vecs r′(t)\|$$

Encuentra los dominios de las funciones vectoriales.

5. $$\vecs r(t)=⟨\sin(t),\, \ln(t),\, \sqrt{t}⟩$$

6. $$\vecs r(t)=\left\langle e^t,\,\dfrac{1}{\sqrt{4−t}},\,\sec t\right\rangle$$

Responder
$$t<4, \; t≠\dfrac{nπ}{2}$$

Esboce las curvas para las siguientes ecuaciones vectoriales. Use una calculadora si es necesario.

7. [T]$$\vecs r(t)=⟨t^2,\, t^3⟩$$

8. [T]$$\vecs r(t)=⟨\sin(20t)e^{−t}, \, \cos(20t)e^{−t}, \, e^{−t}⟩$$

Responder

Encuentre una función vectorial que describa las siguientes curvas.

9. Intersección del cilindro$$x^2+y^2=4$$ con el plano$$x+z=6$$

10. Intersección del cono$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$ y el plano$$z=y−4$$

Responder
$$\vecs r(t)=\left\langle t, \, 2-\frac{t^2}{8},\, -2 - \frac{t^2}{8}\right\rangle$$

Encuentra las derivadas de$$\vecs u(t), \, \vecs u′(t), \, \vecs u′(t)×\vecs u(t), \, \vecs u(t)×\vecs u′(t),$$ y$$\vecs u(t)·\vecs u′(t).$$ Encuentra el vector tangente unitario.

11. $$\vecs u(t)=⟨e^t, \, e^{−t}⟩$$

12. $$\vecs u(t)=⟨t^2,\, 2t+6, \, 4t^5−12⟩$$

Responder
$$\vecs u′(t)=⟨2t, \, 2, \, 20t^4⟩,$$
$$\vecs u″(t)=⟨2, \, 0, \, 80t^3⟩,$$
$$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u′(t)×\vecs u(t)\Big]=⟨−480t^3−160t^4, \, 24+75t^2, \, 12+4t⟩,$$
$$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u′(t)\Big]=⟨480t^3+160t^4, \, -24-75t^2, \, -12-4t⟩,$$
$$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)⋅\vecs u′(t)\Big]=720t^8−9600t^3+6t^2+4,$$
vector tangente unitario:$$\vecs T(t)=\dfrac{2t}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat i}+\dfrac{2}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{20t^4}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat k}$$

Evaluar las siguientes integrales.

13. $$\displaystyle ∫\left(\tan(t)\sec(t)\,\mathbf{\hat i}−te^{3t}\,\mathbf{\hat j}\right)\, dt$$

14. $$\displaystyle ∫_1^4 \vecs u(t) \, dt,$$con$$\vecs u(t)=\left\langle\dfrac{\ln t}{t}, \, \dfrac{1}{\sqrt{t}}, \, \sin\left(\frac{tπ}{4}\right)\right\rangle$$

Responder
$$\dfrac{\ln(4^2)}{2}\,\mathbf{\hat i}+2\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{2(2+\sqrt{2})}{\pi}\,\mathbf{\hat k}$$

Encuentra la longitud para las siguientes curvas.

15. $$\vecs r(t)=⟨3t,\, 4\cos t, \, 4\sin t ⟩$$para$$1≤t≤4$$

16. $$\vecs r(t)=2\,\mathbf{\hat i}+t\,\mathbf{\hat j}+3t^2\,\mathbf{\hat k}$$para$$0≤t≤1$$

Responder
$$\dfrac{\sqrt{37}}{2}+\frac{1}{12}\sinh^{−1} 6$$

Reparameterizar las siguientes funciones con respecto a su longitud de arco medida desde$$t=0$$ la dirección de aumento$$t.$$

17. $$\vecs r(t)=2t\,\mathbf{\hat i}+(4t−5)\,\mathbf{\hat j}+(1−3t)\,\mathbf{\hat k}$$

18. $$\vecs r(t)=\cos(2t)\,\mathbf{\hat i}+8t\,\mathbf{\hat j}−\sin(2t)\,\mathbf{\hat k}$$

Responder
$$\vecs r(t(s))=\cos\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat i}+\frac{8s}{\sqrt{65}}\,\mathbf{\hat j}−\sin\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat k}$$

Encuentra la curvatura para las siguientes funciones vectoriales.

19. $$\vecs r(t)=(2\sin t)\,\mathbf{\hat i}−4t\,\mathbf{\hat j}+(2\cos t)\,\mathbf{\hat k}$$

20. $$\vecs r(t)=\sqrt{2}e^t\,\mathbf{\hat i}+\sqrt{2}e^{−t}\,\mathbf{\hat j}+2t\,\mathbf{\hat k}$$

Responder
$$\dfrac{e^{2t}}{\left(e^{2t}+1\right)^2}$$

21. Encuentre el vector tangente unitario, el vector normal unitario y el vector binormal para$$\vecs r(t)=2\cos t\,\mathbf{\hat i} +3t\,\mathbf{\hat j}+2sint\,\mathbf{\hat k}.$$

22. Encuentra los componentes de aceleración tangencial y normal con el vector de posición$$\vecs r(t)=⟨\cos t,\, \sin t, \, e^t⟩.$$

Contestar
$$a_T=\dfrac{e^{2t}}{1+e^{2t}},$$

$$a_N=\dfrac{\sqrt{2e^{2t}+4e^{2t}\sin t\cos t+1}}{1+e^{2t}}$$

23. Un carro de la noria se mueve a una velocidad constante$$v$$ y tiene un radio constante$$r.$$ Encuentra la aceleración tangencial y normal del carro de la noria.

24. La posición de una partícula viene dada por$$\vecs r(t)=⟨t^2, \, \ln t, \, \sin(πt)⟩,$$ donde$$t$$ se mide en segundos y$$r$$ se mide en metros. Encuentre las funciones de velocidad, aceleración y velocidad. ¿Cuál es la posición, velocidad, velocidad y aceleración de la partícula a 1 seg?

Contestar
$$\vecs v(t)=\left\langle 2t,\, \frac{1}{t}, \, \pi\cos(πt)\right\rangle\text{ m/sec},$$
$$\vecs a(t)=\left\langle 2, \, −\frac{1}{t^2}, \, −\pi^2\sin(πt) \right\rangle\text{ m/sec}^2,$$
$$\text{speed}(t)=\sqrt{4t^2+\frac{1}{t^2}+\pi^2\cos^2(πt)}\text{ m/sec}$$;
A$$t=1,\; \vecs r(1)=⟨1,0,0⟩$$ m,$$\vecs v(1)=⟨2,−1,\pi⟩$$ m/seg,$$\vecs a(1)=⟨2,−1,0⟩$$ m/seg 2 y$$\text{speed}(1) =\sqrt{5+\pi^2}$$ m/seg

Los siguientes problemas consideran lanzar una bala de cañón desde un cañón. La bala de cañón se dispara fuera del cañón con un ángulo$$θ$$ y una velocidad inicial$$\vecs v_0.$$ La única fuerza que actúa sobre la bala de cañón es la gravedad, por lo que comenzamos con una aceleración constante$$\vecs a(t)=−g\,\mathbf{\hat j}.$$

25. Encuentra la función de vector de velocidad$$\vecs v(t).$$

26. Encuentra el vector de posición$$\vecs r(t)$$ y la representación paramétrica para la posición.

Contestar
$$\vecs r(t)=\vecs v_0t−\dfrac{gt^2}{2}\,\mathbf{\hat j},$$
$$\vecs r(t)=⟨v_0(\cos θ)t,\,v_0(\sin θ)t,−\dfrac{gt^2}{2}⟩$$donde$$v_0 = \|\vecs v_0\|.$$

27. ¿En qué ángulo necesitas disparar la bala de cañón para que la distancia horizontal sea mayor? ¿Cuál es la distancia total que recorrería?