13.5: Capítulo 13 Ejercicios de revisión

¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1. Una ecuación paramétrica que pasa por puntos\(P\) y\(Q\) puede ser dada por\(\vecs r(t)=⟨t^2,\, 3t+1,\, t−2⟩,\) dónde\(P(1,4,−1)\) y\(Q(16,11,2).\)

2. \(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=2\vecs u′(t)×\vecs u(t)\)

Responder

Falso,\(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=\vecs 0.\)

3. La curvatura de un círculo de radio\(r\) es constante en todas partes. Además, la curvatura es igual a\(1/r.\)

4. La velocidad de una partícula con una función de posición\(\vecs r(t)\) es\(\dfrac{\vecs r′(t)}{\|\vecs r′(t)\|}.\)

Responder

Falso, es\(\|\vecs r′(t)\|\)

Encuentra los dominios de las funciones vectoriales.

5. \(\vecs r(t)=⟨\sin(t),\, \ln(t),\, \sqrt{t}⟩\)

6. \(\vecs r(t)=\left\langle e^t,\,\dfrac{1}{\sqrt{4−t}},\,\sec t\right\rangle\)

Responder

\(t<4, \; t≠\dfrac{nπ}{2}\)

Esboce las curvas para las siguientes ecuaciones vectoriales. Use una calculadora si es necesario.

7. [T]\(\vecs r(t)=⟨t^2,\, t^3⟩\)

8. [T]\(\vecs r(t)=⟨\sin(20t)e^{−t}, \, \cos(20t)e^{−t}, \, e^{−t}⟩\)

Responder

Encuentre una función vectorial que describa las siguientes curvas.

9. Intersección del cilindro\(x^2+y^2=4\) con el plano\(x+z=6\)

10. Intersección del cono\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) y el plano\(z=y−4\)

Responder

\(\vecs r(t)=\left\langle t, \, 2-\frac{t^2}{8},\, -2 - \frac{t^2}{8}\right\rangle\)

Encuentra las derivadas de\(\vecs u(t), \, \vecs u′(t), \, \vecs u′(t)×\vecs u(t), \, \vecs u(t)×\vecs u′(t),\) y\(\vecs u(t)·\vecs u′(t).\) Encuentra el vector tangente unitario.

11. \(\vecs u(t)=⟨e^t, \, e^{−t}⟩\)

12. \(\vecs u(t)=⟨t^2,\, 2t+6, \, 4t^5−12⟩\)

Responder

\(\vecs u′(t)=⟨2t, \, 2, \, 20t^4⟩,\)
\(\vecs u″(t)=⟨2, \, 0, \, 80t^3⟩,\)
\(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u′(t)×\vecs u(t)\Big]=⟨−480t^3−160t^4, \, 24+75t^2, \, 12+4t⟩,\)
\(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u′(t)\Big]=⟨480t^3+160t^4, \, -24-75t^2, \, -12-4t⟩,\)
\(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)⋅\vecs u′(t)\Big]=720t^8−9600t^3+6t^2+4,\)
vector tangente unitario:\(\vecs T(t)=\dfrac{2t}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat i}+\dfrac{2}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{20t^4}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat k}\)

Evaluar las siguientes integrales.

13. \(\displaystyle ∫\left(\tan(t)\sec(t)\,\mathbf{\hat i}−te^{3t}\,\mathbf{\hat j}\right)\, dt\)

14. \(\displaystyle ∫_1^4 \vecs u(t) \, dt,\)con\(\vecs u(t)=\left\langle\dfrac{\ln t}{t}, \, \dfrac{1}{\sqrt{t}}, \, \sin\left(\frac{tπ}{4}\right)\right\rangle\)

Responder

\(\dfrac{\ln(4^2)}{2}\,\mathbf{\hat i}+2\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{2(2+\sqrt{2})}{\pi}\,\mathbf{\hat k}\)

Encuentra la longitud para las siguientes curvas.

15. \(\vecs r(t)=⟨3t,\, 4\cos t, \, 4\sin t ⟩\)para\(1≤t≤4\)

16. \(\vecs r(t)=2\,\mathbf{\hat i}+t\,\mathbf{\hat j}+3t^2\,\mathbf{\hat k}\)para\(0≤t≤1\)

Responder

\(\dfrac{\sqrt{37}}{2}+\frac{1}{12}\sinh^{−1} 6\)

Reparameterizar las siguientes funciones con respecto a su longitud de arco medida desde\(t=0\) la dirección de aumento\(t.\)

17. \(\vecs r(t)=2t\,\mathbf{\hat i}+(4t−5)\,\mathbf{\hat j}+(1−3t)\,\mathbf{\hat k}\)

18. \(\vecs r(t)=\cos(2t)\,\mathbf{\hat i}+8t\,\mathbf{\hat j}−\sin(2t)\,\mathbf{\hat k}\)

Responder

\(\vecs r(t(s))=\cos\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat i}+\frac{8s}{\sqrt{65}}\,\mathbf{\hat j}−\sin\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat k}\)

Encuentra la curvatura para las siguientes funciones vectoriales.

19. \(\vecs r(t)=(2\sin t)\,\mathbf{\hat i}−4t\,\mathbf{\hat j}+(2\cos t)\,\mathbf{\hat k}\)

20. \(\vecs r(t)=\sqrt{2}e^t\,\mathbf{\hat i}+\sqrt{2}e^{−t}\,\mathbf{\hat j}+2t\,\mathbf{\hat k}\)

Responder

\(\dfrac{e^{2t}}{\left(e^{2t}+1\right)^2}\)

21. Encuentre el vector tangente unitario, el vector normal unitario y el vector binormal para\(\vecs r(t)=2\cos t\,\mathbf{\hat i} +3t\,\mathbf{\hat j}+2sint\,\mathbf{\hat k}.\)

22. Encuentra los componentes de aceleración tangencial y normal con el vector de posición\(\vecs r(t)=⟨\cos t,\, \sin t, \, e^t⟩.\)

Contestar

\(a_T=\dfrac{e^{2t}}{1+e^{2t}},\)

\(a_N=\dfrac{\sqrt{2e^{2t}+4e^{2t}\sin t\cos t+1}}{1+e^{2t}}\)

23. Un carro de la noria se mueve a una velocidad constante\(v\) y tiene un radio constante\(r.\) Encuentra la aceleración tangencial y normal del carro de la noria.

24. La posición de una partícula viene dada por\(\vecs r(t)=⟨t^2, \, \ln t, \, \sin(πt)⟩,\) donde\(t\) se mide en segundos y\(r\) se mide en metros. Encuentre las funciones de velocidad, aceleración y velocidad. ¿Cuál es la posición, velocidad, velocidad y aceleración de la partícula a 1 seg?

Contestar

\(\vecs v(t)=\left\langle 2t,\, \frac{1}{t}, \, \pi\cos(πt)\right\rangle\text{ m/sec},\)
\(\vecs a(t)=\left\langle 2, \, −\frac{1}{t^2}, \, −\pi^2\sin(πt) \right\rangle\text{ m/sec}^2,\)
\(\text{speed}(t)=\sqrt{4t^2+\frac{1}{t^2}+\pi^2\cos^2(πt)}\text{ m/sec}\);
A\(t=1,\; \vecs r(1)=⟨1,0,0⟩\) m,\(\vecs v(1)=⟨2,−1,\pi⟩\) m/seg,\(\vecs a(1)=⟨2,−1,0⟩\) m/seg ² y\(\text{speed}(1) =\sqrt{5+\pi^2}\) m/seg

Los siguientes problemas consideran lanzar una bala de cañón desde un cañón. La bala de cañón se dispara fuera del cañón con un ángulo\(θ\) y una velocidad inicial\(\vecs v_0.\) La única fuerza que actúa sobre la bala de cañón es la gravedad, por lo que comenzamos con una aceleración constante\(\vecs a(t)=−g\,\mathbf{\hat j}.\)

25. Encuentra la función de vector de velocidad\(\vecs v(t).\)

26. Encuentra el vector de posición\(\vecs r(t)\) y la representación paramétrica para la posición.

Contestar

\(\vecs r(t)=\vecs v_0t−\dfrac{gt^2}{2}\,\mathbf{\hat j},\)
\(\vecs r(t)=⟨v_0(\cos θ)t,\,v_0(\sin θ)t,−\dfrac{gt^2}{2}⟩\)donde\(v_0 = \|\vecs v_0\|.\)

27. ¿En qué ángulo necesitas disparar la bala de cañón para que la distancia horizontal sea mayor? ¿Cuál es la distancia total que recorrería?

Colaboradores

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