13.5: Capítulo 13 Ejercicios de revisión

¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1. Una ecuación paramétrica que pasa por puntos$P$ y$Q$ puede ser dada por$\vecs r(t)=⟨t^2,\, 3t+1,\, t−2⟩,$ dónde$P(1,4,−1)$ y$Q(16,11,2).$

2. $\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=2\vecs u′(t)×\vecs u(t)$

Responder

Falso,$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=\vecs 0.$

3. La curvatura de un círculo de radio$r$ es constante en todas partes. Además, la curvatura es igual a$1/r.$

4. La velocidad de una partícula con una función de posición$\vecs r(t)$ es$\dfrac{\vecs r′(t)}{\|\vecs r′(t)\|}.$

Responder

Falso, es$\|\vecs r′(t)\|$

Encuentra los dominios de las funciones vectoriales.

5. $\vecs r(t)=⟨\sin(t),\, \ln(t),\, \sqrt{t}⟩$

6. $\vecs r(t)=\left\langle e^t,\,\dfrac{1}{\sqrt{4−t}},\,\sec t\right\rangle$

Responder

$t<4, \; t≠\dfrac{nπ}{2}$

Esboce las curvas para las siguientes ecuaciones vectoriales. Use una calculadora si es necesario.

7. [T]$\vecs r(t)=⟨t^2,\, t^3⟩$

8. [T]$\vecs r(t)=⟨\sin(20t)e^{−t}, \, \cos(20t)e^{−t}, \, e^{−t}⟩$

Responder

Encuentre una función vectorial que describa las siguientes curvas.

9. Intersección del cilindro$x^2+y^2=4$ con el plano$x+z=6$

10. Intersección del cono$z=\sqrt{x^2+y^2}$ y el plano$z=y−4$

Responder

$\vecs r(t)=\left\langle t, \, 2-\frac{t^2}{8},\, -2 - \frac{t^2}{8}\right\rangle$

Encuentra las derivadas de$\vecs u(t), \, \vecs u′(t), \, \vecs u′(t)×\vecs u(t), \, \vecs u(t)×\vecs u′(t),$ y$\vecs u(t)·\vecs u′(t).$ Encuentra el vector tangente unitario.

11. $\vecs u(t)=⟨e^t, \, e^{−t}⟩$

12. $\vecs u(t)=⟨t^2,\, 2t+6, \, 4t^5−12⟩$

Responder

$\vecs u′(t)=⟨2t, \, 2, \, 20t^4⟩,$
$\vecs u″(t)=⟨2, \, 0, \, 80t^3⟩,$
$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u′(t)×\vecs u(t)\Big]=⟨−480t^3−160t^4, \, 24+75t^2, \, 12+4t⟩,$
$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u′(t)\Big]=⟨480t^3+160t^4, \, -24-75t^2, \, -12-4t⟩,$
$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)⋅\vecs u′(t)\Big]=720t^8−9600t^3+6t^2+4,$
vector tangente unitario:$\vecs T(t)=\dfrac{2t}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat i}+\dfrac{2}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{20t^4}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat k}$

Evaluar las siguientes integrales.

13. $\displaystyle ∫\left(\tan(t)\sec(t)\,\mathbf{\hat i}−te^{3t}\,\mathbf{\hat j}\right)\, dt$

14. $\displaystyle ∫_1^4 \vecs u(t) \, dt,$con$\vecs u(t)=\left\langle\dfrac{\ln t}{t}, \, \dfrac{1}{\sqrt{t}}, \, \sin\left(\frac{tπ}{4}\right)\right\rangle$

Responder

$\dfrac{\ln(4^2)}{2}\,\mathbf{\hat i}+2\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{2(2+\sqrt{2})}{\pi}\,\mathbf{\hat k}$

Encuentra la longitud para las siguientes curvas.

15. $\vecs r(t)=⟨3t,\, 4\cos t, \, 4\sin t ⟩$para$1≤t≤4$

16. $\vecs r(t)=2\,\mathbf{\hat i}+t\,\mathbf{\hat j}+3t^2\,\mathbf{\hat k}$para$0≤t≤1$

Responder

$\dfrac{\sqrt{37}}{2}+\frac{1}{12}\sinh^{−1} 6$

Reparameterizar las siguientes funciones con respecto a su longitud de arco medida desde$t=0$ la dirección de aumento$t.$

17. $\vecs r(t)=2t\,\mathbf{\hat i}+(4t−5)\,\mathbf{\hat j}+(1−3t)\,\mathbf{\hat k}$

18. $\vecs r(t)=\cos(2t)\,\mathbf{\hat i}+8t\,\mathbf{\hat j}−\sin(2t)\,\mathbf{\hat k}$

Responder

$\vecs r(t(s))=\cos\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat i}+\frac{8s}{\sqrt{65}}\,\mathbf{\hat j}−\sin\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat k}$

Encuentra la curvatura para las siguientes funciones vectoriales.

19. $\vecs r(t)=(2\sin t)\,\mathbf{\hat i}−4t\,\mathbf{\hat j}+(2\cos t)\,\mathbf{\hat k}$

20. $\vecs r(t)=\sqrt{2}e^t\,\mathbf{\hat i}+\sqrt{2}e^{−t}\,\mathbf{\hat j}+2t\,\mathbf{\hat k}$

Responder

$\dfrac{e^{2t}}{\left(e^{2t}+1\right)^2}$

21. Encuentre el vector tangente unitario, el vector normal unitario y el vector binormal para$\vecs r(t)=2\cos t\,\mathbf{\hat i} +3t\,\mathbf{\hat j}+2sint\,\mathbf{\hat k}.$

22. Encuentra los componentes de aceleración tangencial y normal con el vector de posición$\vecs r(t)=⟨\cos t,\, \sin t, \, e^t⟩.$

Contestar

$a_T=\dfrac{e^{2t}}{1+e^{2t}},$

$a_N=\dfrac{\sqrt{2e^{2t}+4e^{2t}\sin t\cos t+1}}{1+e^{2t}}$

23. Un carro de la noria se mueve a una velocidad constante$v$ y tiene un radio constante$r.$ Encuentra la aceleración tangencial y normal del carro de la noria.

24. La posición de una partícula viene dada por$\vecs r(t)=⟨t^2, \, \ln t, \, \sin(πt)⟩,$ donde$t$ se mide en segundos y$r$ se mide en metros. Encuentre las funciones de velocidad, aceleración y velocidad. ¿Cuál es la posición, velocidad, velocidad y aceleración de la partícula a 1 seg?

Contestar

$\vecs v(t)=\left\langle 2t,\, \frac{1}{t}, \, \pi\cos(πt)\right\rangle\text{ m/sec},$
$\vecs a(t)=\left\langle 2, \, −\frac{1}{t^2}, \, −\pi^2\sin(πt) \right\rangle\text{ m/sec}^2,$
$\text{speed}(t)=\sqrt{4t^2+\frac{1}{t^2}+\pi^2\cos^2(πt)}\text{ m/sec}$;
A$t=1,\; \vecs r(1)=⟨1,0,0⟩$ m,$\vecs v(1)=⟨2,−1,\pi⟩$ m/seg,$\vecs a(1)=⟨2,−1,0⟩$ m/seg ² y$\text{speed}(1) =\sqrt{5+\pi^2}$ m/seg

Los siguientes problemas consideran lanzar una bala de cañón desde un cañón. La bala de cañón se dispara fuera del cañón con un ángulo$θ$ y una velocidad inicial$\vecs v_0.$ La única fuerza que actúa sobre la bala de cañón es la gravedad, por lo que comenzamos con una aceleración constante$\vecs a(t)=−g\,\mathbf{\hat j}.$

25. Encuentra la función de vector de velocidad$\vecs v(t).$

26. Encuentra el vector de posición$\vecs r(t)$ y la representación paramétrica para la posición.

Contestar

$\vecs r(t)=\vecs v_0t−\dfrac{gt^2}{2}\,\mathbf{\hat j},$
$\vecs r(t)=⟨v_0(\cos θ)t,\,v_0(\sin θ)t,−\dfrac{gt^2}{2}⟩$donde$v_0 = \|\vecs v_0\|.$

27. ¿En qué ángulo necesitas disparar la bala de cañón para que la distancia horizontal sea mayor? ¿Cuál es la distancia total que recorrería?

Colaboradores

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