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# 14.3E: Ejercicios para la Sección 14.3

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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En el siguiente ejercicio, calcule la derivada parcial utilizando únicamente las definiciones de límite.

1)$$\dfrac{∂z}{∂y}$$ para$$z=x^2−3xy+y^2$$

Contestar
$$\dfrac{∂z}{∂y}=−3x+2y$$

Para los ejercicios 2 - 5, calcule el signo de la derivada parcial utilizando la gráfica de la superficie.

2)$$f_x(1,1)$$

3)$$f_x(−1,1)$$

Contestar
El signo es negativo.

4)$$f_y(1,1)$$

5)$$f_x(0,0)$$

Contestar
La derivada parcial es cero en el origen.

6)$$\dfrac{∂z}{∂x}$$ para$$z=\sin(3x)\cos(3y)$$

7)$$\dfrac{∂z}{∂y}$$ para$$z=\sin(3x)\cos(3y)$$

Contestar
$$\dfrac{∂z}{∂y}=−3\sin(3x)\sin(3y)$$

8)$$\dfrac{∂z}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂z}{∂y}$$ para$$z=x^8e^3y$$

9)$$\dfrac{∂z}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂z}{∂y}$$ para$$z=\ln(x^6+y^4)$$

Contestar
$$\dfrac{∂z}{∂x}=\frac{6x^5}{x^6+y^4};\quad \dfrac{∂z}{∂y}=\frac{4y^3}{x^6+y^4}$$

10)$$f_y(x,y)$$ Buscar$$f(x,y)=e^{xy}\cos(x)\sin(y).$$

11) Let$$z=e^{xy}.$$ Find$$\dfrac{∂z}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂z}{∂y}$$.

Contestar
$$\dfrac{∂z}{∂x}=ye^{xy};\quad \dfrac{∂z}{∂y}=xe^{xy}$$

12) Vamos$$z=\ln(\frac{x}{y})$$. Encontrar$$\dfrac{∂z}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂z}{∂y}$$.

13) Let$$z=\tan(2x−y).$$ Find$$\dfrac{∂z}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂z}{∂y}$$.

Contestar
$$\dfrac{∂z}{∂x}=2\sec^2(2x−y),\quad \dfrac{∂z}{∂y}=−\sec^2(2x−y)$$

14) Let$$z=\sinh(2x+3y).$$ Find$$\dfrac{∂z}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂z}{∂y}$$.

15) Dejar$$f(x,y)=\arctan(\frac{y}{x}).$$ Evaluar$$f_x(2,−2)$$ y$$f_y(2,−2)$$.

Contestar
$$f_x(2,−2)=\frac{1}{4}=f_y(2,−2)$$

16) Let$$f(x,y)=\dfrac{xy}{x−y}.$$ Find$$f_x(2,−2)$$ y$$f_y(2,−2).$$

17) Encontrar$$\dfrac{∂z}{∂x}$$ en$$(0,1)$$ para$$z=e^{−x}cos(y)$$.

Contestar
$$\dfrac{∂z}{∂x}=−\cos(1)$$

18) Dado$$f(x,y,z)=x^3yz^2,$$ hallazgo$$\dfrac{∂^2f}{∂x∂y}$$ y$$f_z(1,1,1).$$

19) Dado$$f(x,y,z)=2\sin(x+y),$$ hallazgo$$f_x(0,\frac{π}{2},−4)$$,$$f_y(0,\frac{π}{2},−4)$$, y$$f_z(0,\frac{π}{2},−4)$$.

Contestar
$$f_x(x,y,z)=0,\quad f_y(x,y,z)=0,\quad f_z(x,y,z)=0$$

20) El área de un paralelogramo con longitudes laterales adyacentes que son$$a$$ y$$b$$, y en la que se encuentra el ángulo entre estos dos lados$$θ$$, viene dada por la función$$A(a,b,θ)=ba\sin(θ).$$ Encontrar la tasa de cambio del área del paralelogramo con respecto a lo siguiente:

a. Lado$$a$$

b. Lateral$$b$$

c. Ángulo$$θ$$

21) Expresar el volumen de un cilindro circular derecho en función de dos variables:

a. su radio$$r$$ y su altura$$h$$.

b. Demostrar que la tasa de cambio del volumen del cilindro con respecto a su radio es el producto de su circunferencia multiplicado por su altura.

c. Demostrar que la tasa de cambio del volumen del cilindro con respecto a su altura es igual al área de la base circular.

Contestar
$$a. V(r,h)=πr^2h$$
$$b. \dfrac{∂V}{∂r}=2πrh$$
$$c. \dfrac{∂V}{∂h}=πr^2$$

22) Calcular$$\dfrac{∂w}{∂z}$$ para$$w=z\sin(xy^2+2z).$$

En los ejercicios 23 - 39, encuentra las derivadas parciales de orden superior indicadas.

23)$$f_{xy}(x,y)$$ para$$f(x,y)=\ln(x−y)$$

Contestar
$$f_{xy}(x,y)=\frac{1}{(x−y)^2}$$

24)$$f_{yx}(x,y)$$ para$$f(x, y)=\ln(x−y)$$

25) Let$$z=x^2+3xy+2y^2.$$ Find$$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}$$ y$$\dfrac{∂^2z}{∂y^2}$$.

Contestar
$$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}=2,\quad \dfrac{∂^2z}{∂y^2}=4$$

26) Dado$$z=e^x\tan y$$, encontrar$$\dfrac{∂^2z}{∂x∂y}$$ y$$\dfrac{∂^2z}{∂y∂x}$$.

27) Dado$$f(x,y,z)=xyz,$$ hallazgo$$f_{xyy}(x,y,z),\, f_{yxy}(x,y,z),$$ y$$f_{yyx}(x,y,z)$$.

Contestar
$$f_{xyy}(x,y,z)=f_{yxy}(x,y,z)=f_{yyx}(x,y,z)=0$$

28) Dado$$f(x,y,z)=e^{−2x}\sin(z^2y),$$ demostrar que$$f_{xyy}(x,y,z)=f_{yxy}(x,y,z)$$.

29) Mostrar que$$z=\frac{1}{2}(e^y−e^{−y})\sin x$$ es una solución de la ecuación diferencial$$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}+\dfrac{∂^2z}{∂y^2}=0.$$

Contestar
$$\dfrac{d^2z}{dx^2}=−\frac{1}{2}(e^y−e^{−y})\sin x$$
$$\dfrac{d^2z}{dy^2}=\frac{1}{2}(e^y−e^{−y})\sin x$$
$$\dfrac{d^2z}{dx^2}+\dfrac{d^2z}{dy^2}=0$$

30)$$f_{xx}(x,y)$$ Buscar$$f(x,y)=\frac{4x^2}{y}+\frac{y^2}{2x}.$$

31) Let$$f(x,y,z)=x^2y^3z−3xy^2z^3+5x^2z−y^3z.$$ Find$$f_{xyz}.$$

Contestar
$$f_{xyz}(x,y,z)=6y^2x−18yz^2$$

32) Vamos a$$F(x,y,z)=x^3yz^2−2x^2yz+3xz−2y^3z.$$ encontrar$$F_{xyz}(x,y,z)$$.

33) Dado$$f(x,y)=x^2+x−3xy+y^3−5,$$ encontrar todos los puntos en los que$$f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$$ simultáneamente.

Contestar
$$(\frac{1}{4},\frac{1}{2}),\quad (1,1)$$

34) Dado$$f(x,y)=2x^2+2xy+y^2+2x−3,$$ encontrar todos los puntos en los que$$\dfrac{∂f}{∂x}=0$$ y$$\dfrac{∂f}{∂y}=0$$ simultáneamente.

35) Dado$$f(x,y)=y^3−3yx^2−3y^2−3x^2+1$$, encontrar todos los puntos$$f$$ en los que$$f_x(x, y)=f_y(x, y)=0$$ simultáneamente.

Contestar
$$(0,0),\quad (0,2),\quad (\sqrt{3},−1), \quad (−\sqrt{3},−1)$$

36) Dado$$f(x,y)=15x^3−3xy+15y^3,$$ encontrar todos los puntos en los que$$f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$$ simultáneamente.

37) Demostrar que$$z=e^x\sin y$$ satisface la ecuación$$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}+\dfrac{∂^2z}{∂y^2}=0.$$

Contestar
$$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}+\dfrac{∂^2z}{∂y^2}=e^x\sin y−e^x\sin y=0$$

38) Demostrar que$$f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$$ resuelve la ecuación de Laplace$$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}+\dfrac{∂^2z}{∂y^2}=0.$$

39) Demostrar que$$z=e^{−t}\cos(\frac{x}{c})$$ satisface la ecuación de calor$$\dfrac{∂z}{∂t}=−e^{−t}\cos(\frac{x}{c}).$$

Contestar
$$c^2\dfrac{∂^2z}{∂x^2}=e^{−t}\cos(\frac{x}{c})$$

40)$$\displaystyle \lim_{Δx→0}\frac{f(x+Δx)−f(x,y)}{Δx}$$ Buscar$$f(x,y)=−7x−2xy+7y.$$

41)$$\displaystyle \lim_{Δy→0}\frac{f(x,y+Δy)−f(x,y)}{Δy}$$ Buscar$$f(x,y)=−7x−2xy+7y.$$

Contestar
$$\dfrac{∂f}{∂y}=−2x+7$$

42)$$\displaystyle \lim_{Δx→0}\frac{Δf}{Δx}=\lim_{Δx→0}\frac{f(x+Δx,y)−f(x,y)}{Δx}$$ Buscar$$f(x,y)=x^2y^2+xy+y.$$

43)$$\displaystyle \lim_{Δx→0}\frac{Δf}{Δx}=\lim_{Δx→0}\frac{f(x+Δx,y)−f(x,y)}{Δx}$$ Buscar$$f(x,y)=\sin(xy).$$

Contestar
$$\dfrac{∂f}{∂x}=y\cos xy$$

44) La función$$P(T,V)=\dfrac{nRT}{V}$$ da la presión en un punto en un gas en función de la temperatura$$T$$ y el volumen$$V$$. Las letras$$n$$ y$$R$$ son constantes. Encontrar$$\dfrac{∂P}{∂V}$$ y$$\dfrac{∂P}{∂T}$$, y explicar lo que representan estas cantidades.

45) La ecuación para el flujo de calor en el$$xy$$ plano es$$\dfrac{∂f}{∂t}=\dfrac{∂^2f}{∂x^2}+\dfrac{∂^2f}{∂y^2}$$. Demostrar que$$f(x,y,t)=e^{−2t}\sin x\sin y$$ es una solución.

46) La ecuación básica de onda es$$f_{tt}=f_{xx}.$$ Verificar que$$f(x,t)=\sin(x+t)$$ y$$f(x,t)=\sin(x−t)$$ son soluciones.

47) La ley de los cosenos puede pensarse como una función de tres variables. Dejar$$x,y,$$ y$$θ$$ ser dos lados de cualquier triángulo donde el ángulo$$θ$$ es el ángulo incluido entre los dos lados. Entonces,$$F(x,y,θ)=x^2+y^2−2xy\cos θ$$ da el cuadrado del tercer lado del triángulo. Buscar$$\dfrac{∂F}{∂θ}$$ y$$\dfrac{∂F}{∂x}$$ cuándo$$x=2,\,y=3,$$ y$$θ=\frac{π}{6}.$$

Contestar
$$\dfrac{∂F}{∂θ}=6,\quad \dfrac{∂F}{∂x}=4−3\sqrt{3}$$

48) Supongamos que los lados de un rectángulo están cambiando con respecto al tiempo. El primer lado está cambiando a un ritmo de$$2$$ in. /seg mientras que el segundo lado está cambiando a la velocidad de$$4$$ en/seg. ¿Qué tan rápido cambia la diagonal del rectángulo cuando el primer lado mide$$16$$ pulg. y el segundo lado mide$$20$$ en.? (Redondear la respuesta a tres decimales.)

49) Una función de producción Cobb-Douglas es$$f(x,y)=200x^{0.7}y^{0.3},$$ donde$$x$$ y$$y$$ representan la cantidad de mano de obra y capital disponible. Let$$x=500$$ y$$y=1000.$$ Find$$\dfrac{∂f}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂f}{∂y}$$ a estos valores, que representan la productividad marginal del trabajo y del capital, respectivamente.

Contestar
$$\dfrac{∂f}{∂x}$$$$(500,1000)=172.36, \quad \dfrac{∂f}{∂y}$$en$$(500,1000)=36.93$$

50) El índice de temperatura aparente es una medida de cómo se siente la temperatura, y se basa en dos variables:$$h$$, que es la humedad relativa, y$$t$$, que es la temperatura del aire.

$$A=0.885t−22.4h+1.20th−0.544.$$Buscar$$\dfrac{∂A}{∂t}$$ y$$\dfrac{∂A}{∂h}$$ cuándo$$t=20°F$$ y$$h=0.90.$$

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