14.3E: Ejercicios para la Sección 14.3

En el siguiente ejercicio, calcule la derivada parcial utilizando únicamente las definiciones de límite.

1)$\dfrac{∂z}{∂y}$ para$z=x^2−3xy+y^2$

Contestar

$\dfrac{∂z}{∂y}=−3x+2y$

Para los ejercicios 2 - 5, calcule el signo de la derivada parcial utilizando la gráfica de la superficie.

2)$f_x(1,1)$

3)$f_x(−1,1)$

Contestar

El signo es negativo.

4)$f_y(1,1)$

5)$f_x(0,0)$

Contestar

La derivada parcial es cero en el origen.

En los ejercicios 6 - 16, calcular las derivadas parciales solicitadas.

6)$\dfrac{∂z}{∂x}$ para$z=\sin(3x)\cos(3y)$

7)$\dfrac{∂z}{∂y}$ para$z=\sin(3x)\cos(3y)$

Contestar

$\dfrac{∂z}{∂y}=−3\sin(3x)\sin(3y)$

8)$\dfrac{∂z}{∂x}$ y$\dfrac{∂z}{∂y}$ para$z=x^8e^3y$

9)$\dfrac{∂z}{∂x}$ y$\dfrac{∂z}{∂y}$ para$z=\ln(x^6+y^4)$

Contestar

$\dfrac{∂z}{∂x}=\frac{6x^5}{x^6+y^4};\quad \dfrac{∂z}{∂y}=\frac{4y^3}{x^6+y^4}$

10)$f_y(x,y)$ Buscar$f(x,y)=e^{xy}\cos(x)\sin(y).$

11) Let$z=e^{xy}.$ Find$\dfrac{∂z}{∂x}$ y$\dfrac{∂z}{∂y}$.

Contestar

$\dfrac{∂z}{∂x}=ye^{xy};\quad \dfrac{∂z}{∂y}=xe^{xy}$

12) Vamos$z=\ln(\frac{x}{y})$. Encontrar$\dfrac{∂z}{∂x}$ y$\dfrac{∂z}{∂y}$.

13) Let$z=\tan(2x−y).$ Find$\dfrac{∂z}{∂x}$ y$\dfrac{∂z}{∂y}$.

Contestar

$\dfrac{∂z}{∂x}=2\sec^2(2x−y),\quad \dfrac{∂z}{∂y}=−\sec^2(2x−y)$

14) Let$z=\sinh(2x+3y).$ Find$\dfrac{∂z}{∂x}$ y$\dfrac{∂z}{∂y}$.

15) Dejar$f(x,y)=\arctan(\frac{y}{x}).$ Evaluar$f_x(2,−2)$ y$f_y(2,−2)$.

Contestar

$f_x(2,−2)=\frac{1}{4}=f_y(2,−2)$

16) Let$f(x,y)=\dfrac{xy}{x−y}.$ Find$f_x(2,−2)$ y$f_y(2,−2).$

17) Encontrar$\dfrac{∂z}{∂x}$ en$(0,1)$ para$z=e^{−x}cos(y)$.

Contestar

$\dfrac{∂z}{∂x}=−\cos(1)$

18) Dado$f(x,y,z)=x^3yz^2,$ hallazgo$\dfrac{∂^2f}{∂x∂y}$ y$f_z(1,1,1).$

19) Dado$f(x,y,z)=2\sin(x+y),$ hallazgo$f_x(0,\frac{π}{2},−4)$,$f_y(0,\frac{π}{2},−4)$, y$f_z(0,\frac{π}{2},−4)$.

Contestar

$f_x(x,y,z)=0,\quad f_y(x,y,z)=0,\quad f_z(x,y,z)=0$

20) El área de un paralelogramo con longitudes laterales adyacentes que son$a$ y$b$, y en la que se encuentra el ángulo entre estos dos lados$θ$, viene dada por la función$A(a,b,θ)=ba\sin(θ).$ Encontrar la tasa de cambio del área del paralelogramo con respecto a lo siguiente:

a. Lado$a$

b. Lateral$b$

c. Ángulo$θ$

21) Expresar el volumen de un cilindro circular derecho en función de dos variables:

a. su radio$r$ y su altura$h$.

b. Demostrar que la tasa de cambio del volumen del cilindro con respecto a su radio es el producto de su circunferencia multiplicado por su altura.

c. Demostrar que la tasa de cambio del volumen del cilindro con respecto a su altura es igual al área de la base circular.

Contestar

$a. V(r,h)=πr^2h$
$b. \dfrac{∂V}{∂r}=2πrh$
$c. \dfrac{∂V}{∂h}=πr^2$

22) Calcular$\dfrac{∂w}{∂z}$ para$w=z\sin(xy^2+2z).$

En los ejercicios 23 - 39, encuentra las derivadas parciales de orden superior indicadas.

23)$f_{xy}(x,y)$ para$f(x,y)=\ln(x−y)$

Contestar

$f_{xy}(x,y)=\frac{1}{(x−y)^2}$

24)$f_{yx}(x,y)$ para$f(x, y)=\ln(x−y)$

25) Let$z=x^2+3xy+2y^2.$ Find$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}$ y$\dfrac{∂^2z}{∂y^2}$.

Contestar

$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}=2,\quad \dfrac{∂^2z}{∂y^2}=4$

26) Dado$z=e^x\tan y$, encontrar$\dfrac{∂^2z}{∂x∂y}$ y$\dfrac{∂^2z}{∂y∂x}$.

27) Dado$f(x,y,z)=xyz,$ hallazgo$f_{xyy}(x,y,z),\, f_{yxy}(x,y,z),$ y$f_{yyx}(x,y,z)$.

Contestar

$f_{xyy}(x,y,z)=f_{yxy}(x,y,z)=f_{yyx}(x,y,z)=0$

28) Dado$f(x,y,z)=e^{−2x}\sin(z^2y),$ demostrar que$f_{xyy}(x,y,z)=f_{yxy}(x,y,z)$.

29) Mostrar que$z=\frac{1}{2}(e^y−e^{−y})\sin x$ es una solución de la ecuación diferencial$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}+\dfrac{∂^2z}{∂y^2}=0.$

Contestar

$\dfrac{d^2z}{dx^2}=−\frac{1}{2}(e^y−e^{−y})\sin x$
$\dfrac{d^2z}{dy^2}=\frac{1}{2}(e^y−e^{−y})\sin x$
$\dfrac{d^2z}{dx^2}+\dfrac{d^2z}{dy^2}=0$

30)$f_{xx}(x,y)$ Buscar$f(x,y)=\frac{4x^2}{y}+\frac{y^2}{2x}.$

31) Let$f(x,y,z)=x^2y^3z−3xy^2z^3+5x^2z−y^3z.$ Find$f_{xyz}.$

Contestar

$f_{xyz}(x,y,z)=6y^2x−18yz^2$

32) Vamos a$F(x,y,z)=x^3yz^2−2x^2yz+3xz−2y^3z.$ encontrar$F_{xyz}(x,y,z)$.

33) Dado$f(x,y)=x^2+x−3xy+y^3−5,$ encontrar todos los puntos en los que$f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$ simultáneamente.

Contestar

$(\frac{1}{4},\frac{1}{2}),\quad (1,1)$

34) Dado$f(x,y)=2x^2+2xy+y^2+2x−3,$ encontrar todos los puntos en los que$\dfrac{∂f}{∂x}=0$ y$\dfrac{∂f}{∂y}=0$ simultáneamente.

35) Dado$f(x,y)=y^3−3yx^2−3y^2−3x^2+1$, encontrar todos los puntos$f$ en los que$f_x(x, y)=f_y(x, y)=0$ simultáneamente.

Contestar

$(0,0),\quad (0,2),\quad (\sqrt{3},−1), \quad (−\sqrt{3},−1)$

36) Dado$f(x,y)=15x^3−3xy+15y^3,$ encontrar todos los puntos en los que$f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$ simultáneamente.

37) Demostrar que$z=e^x\sin y$ satisface la ecuación$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}+\dfrac{∂^2z}{∂y^2}=0.$

Contestar

$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}+\dfrac{∂^2z}{∂y^2}=e^x\sin y−e^x\sin y=0$

38) Demostrar que$f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$ resuelve la ecuación de Laplace$\dfrac{∂^2z}{∂x^2}+\dfrac{∂^2z}{∂y^2}=0.$

39) Demostrar que$z=e^{−t}\cos(\frac{x}{c})$ satisface la ecuación de calor$\dfrac{∂z}{∂t}=−e^{−t}\cos(\frac{x}{c}).$

Contestar

$c^2\dfrac{∂^2z}{∂x^2}=e^{−t}\cos(\frac{x}{c})$

40)$\displaystyle \lim_{Δx→0}\frac{f(x+Δx)−f(x,y)}{Δx}$ Buscar$f(x,y)=−7x−2xy+7y.$

41)$\displaystyle \lim_{Δy→0}\frac{f(x,y+Δy)−f(x,y)}{Δy}$ Buscar$f(x,y)=−7x−2xy+7y.$

Contestar

$\dfrac{∂f}{∂y}=−2x+7$

42)$\displaystyle \lim_{Δx→0}\frac{Δf}{Δx}=\lim_{Δx→0}\frac{f(x+Δx,y)−f(x,y)}{Δx}$ Buscar$f(x,y)=x^2y^2+xy+y.$

43)$\displaystyle \lim_{Δx→0}\frac{Δf}{Δx}=\lim_{Δx→0}\frac{f(x+Δx,y)−f(x,y)}{Δx}$ Buscar$f(x,y)=\sin(xy).$

Contestar

$\dfrac{∂f}{∂x}=y\cos xy$

44) La función$P(T,V)=\dfrac{nRT}{V}$ da la presión en un punto en un gas en función de la temperatura$T$ y el volumen$V$. Las letras$n$ y$R$ son constantes. Encontrar$\dfrac{∂P}{∂V}$ y$\dfrac{∂P}{∂T}$, y explicar lo que representan estas cantidades.

45) La ecuación para el flujo de calor en el$xy$ plano es$\dfrac{∂f}{∂t}=\dfrac{∂^2f}{∂x^2}+\dfrac{∂^2f}{∂y^2}$. Demostrar que$f(x,y,t)=e^{−2t}\sin x\sin y$ es una solución.

46) La ecuación básica de onda es$f_{tt}=f_{xx}.$ Verificar que$f(x,t)=\sin(x+t)$ y$f(x,t)=\sin(x−t)$ son soluciones.

47) La ley de los cosenos puede pensarse como una función de tres variables. Dejar$x,y,$ y$θ$ ser dos lados de cualquier triángulo donde el ángulo$θ$ es el ángulo incluido entre los dos lados. Entonces,$F(x,y,θ)=x^2+y^2−2xy\cos θ$ da el cuadrado del tercer lado del triángulo. Buscar$\dfrac{∂F}{∂θ}$ y$\dfrac{∂F}{∂x}$ cuándo$x=2,\,y=3,$ y$θ=\frac{π}{6}.$

Contestar

$\dfrac{∂F}{∂θ}=6,\quad \dfrac{∂F}{∂x}=4−3\sqrt{3}$

48) Supongamos que los lados de un rectángulo están cambiando con respecto al tiempo. El primer lado está cambiando a un ritmo de$2$ in. /seg mientras que el segundo lado está cambiando a la velocidad de$4$ en/seg. ¿Qué tan rápido cambia la diagonal del rectángulo cuando el primer lado mide$16$ pulg. y el segundo lado mide$20$ en.? (Redondear la respuesta a tres decimales.)

49) Una función de producción Cobb-Douglas es$f(x,y)=200x^{0.7}y^{0.3},$ donde$x$ y$y$ representan la cantidad de mano de obra y capital disponible. Let$x=500$ y$y=1000.$ Find$\dfrac{∂f}{∂x}$ y$\dfrac{∂f}{∂y}$ a estos valores, que representan la productividad marginal del trabajo y del capital, respectivamente.

Contestar

$\dfrac{∂f}{∂x}$$(500,1000)=172.36, \quad \dfrac{∂f}{∂y}$en$(500,1000)=36.93$

50) El índice de temperatura aparente es una medida de cómo se siente la temperatura, y se basa en dos variables:$h$, que es la humedad relativa, y$t$, que es la temperatura del aire.

$A=0.885t−22.4h+1.20th−0.544.$Buscar$\dfrac{∂A}{∂t}$ y$\dfrac{∂A}{∂h}$ cuándo$t=20°F$ y$h=0.90.$