16.4: Teorema de Green
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Aplicar la forma de circulación del teorema de Green.
- Aplicar la forma de flujo del teorema de Green.
- Calcular la circulación y el flujo en regiones más generales.
En esta sección, examinamos el teorema de Green, que es una extensión del Teorema Fundamental del Cálculo a dos dimensiones. El teorema de Green tiene dos formas: una forma de circulación y una forma de flujo, las cuales requieren que la regiónD en la doble integral esté simplemente conectada. No obstante, extenderemos el teorema de Green a regiones que no están simplemente conectadas.
En pocas palabras, el teorema de Green relaciona una línea integral alrededor de una curva plana simplemente cerradaC y una doble integral sobre la región encerrada porC. El teorema es útil porque nos permite traducir integrales de línea difíciles en integrales dobles más simples, o integrales dobles difíciles en integrales de línea más simples.
Extendiendo el Teorema Fundamental del Cálculo
Recordemos que el Teorema Fundamental del Cálculo dice que
∫baF′(x)dx=F(b)−F(a).
Como declaración geométrica, esta ecuación dice que la integral sobre la región debajo de la gráfica deF′(x) y por encima del segmento de línea[a,b] depende únicamente del valor deF en los puntos finalesa yb de ese segmento. Dado que los númerosa yb son el límite del segmento de línea[a,b], el teorema dice que podemos calcular integral con∫baF′(x)dx base en información sobre el límite del segmento de línea[a,b] (Figura16.4.1). La misma idea es cierta del Teorema Fundamental para Integrales de Línea:
∫C⇀∇f·d⇀r=f(⇀r(b))−f(⇀r(a)).
Cuando tenemos una función potencial (una “antiderivada”), podemos calcular la integral de línea basándose únicamente en información sobre el límite de la curvaC.

El teorema de Green toma esta idea y la extiende al cálculo de dobles integrales. El teorema de Green dice que podemos calcular una doble integral sobre región conD base únicamente en información sobre el límite deD. El teorema de Green también dice que podemos calcular una línea integral sobre una simple curva cerradaC basada únicamente en información sobre la región que loC encierra. En particular, el teorema de Green conecta una doble integral sobre regiónD con una línea integral alrededor del límite deD.
Forma de circulación del teorema de Green
La primera forma del teorema de Green que examinamos es la forma de circulación. Esta forma del teorema relaciona la integral de la línea vectorial sobre una curva plana simple y cerradaC con una doble integral sobre la región encerrada porC. Por lo tanto, la circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada simple se puede transformar en una doble integral y viceversa.
LetD Ser una región abierta, simplemente conectada con una curva límiteC que es una curva cerrada simple y lisa por tramos orientada en sentido antihorario (Figura16.4.1). Let⇀F=⟨P,Q⟩ Ser un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas encendidasD. Entonces,
∮C⇀F·d⇀r=∮CPdx+Qdy=∬D(Qx−Py)dA.

Observe que el teorema de Green solo se puede usar para un campo vectorial bidimensional⇀F. Si⇀F es un campo tridimensional, entonces el teorema de Green no aplica. Desde
∫CPdx+Qdy=∫C⇀F·⇀Tds
esta versión del teorema de Green es a veces referida como la forma tangencial del teorema de Green.
La prueba del teorema de Green es más bien técnica, y más allá del alcance de este texto. Aquí examinamos una prueba del teorema en el caso especial queD es un rectángulo. Por ahora, observe que podemos confirmar rápidamente que el teorema es cierto para el caso especial en el que⇀F=⟨P,Q⟩ es conservador. En este caso,
∮CPdx+Qdy=0
porque la circulación es cero en campos vectoriales conservadores. ⇀Fsatisface la condición transversal parcial, por lo quePy=Qx. Por lo tanto,
∬D(Qx−Py)dA=∫D0dA=0=∮CPdx+Qdy
lo que confirma el teorema de Green en el caso de los campos vectoriales conservadores.
Ahora probemos que la forma de circulación del teorema de Green es cierta cuando la regiónD es un rectángulo. DejarD ser el rectángulo[a,b]×[c,d] orientado en sentido antihorario. Luego, el límiteC deD consta de cuatro piezas lisas por partesC1C2,C3, yC4 (Figura16.4.3). Parametrizamos cada lado de laD siguiente manera:
C1:⇀r1(t)=⟨t,c⟩,a≤t≤b
C2:⇀r2(t)=⟨b,t⟩,c≤t≤d
−C3:⇀r3(t)=⟨t,d⟩,a≤t≤b
−C4:⇀r4(t)=⟨a,t⟩,c≤t≤d.
Entonces,
∫C⇀F·d⇀r=∫C1⇀F·d⇀r+∫C2⇀F·d⇀r+∫C3⇀F·d⇀r+∫C4⇀F·d⇀r=∫C1⇀F·d⇀r+∫C2⇀F·d⇀r−∫−C3⇀F·d⇀r−∫−C4⇀F·d⇀r=∫ba⇀F(⇀r1(t))·⇀r′1(t)dt+∫dc⇀F(⇀r2(t))·⇀r′2(t)dt−∫ba⇀F(⇀r3(t))·⇀r′3(t)dt−∫dc⇀F(⇀r4(t))·⇀r′4(t)dt=∫baP(t,c)dt+∫dcQ(b,t)dt−∫baP(t,d)dt−∫dcQ(a,t)dt=∫ba(P(t,c)−P(t,d))dt+∫dc(Q(b,t)−Q(a,t))dt=−∫ba(P(t,d)−P(t,c))dt+∫dc(Q(b,t)−Q(a,t))dt.
Por el Teorema Fundamental del Cálculo,
P(t,d)−P(t,c)=∫dc∂∂yP(t,y)dy
y
Q(b,t)−Q(a,t)=∫ba∂∂xQ(x,t)dx.
Por lo tanto,
−∫ba(P(t,d)−P(t,c))dt+∫dc(Q(b,t)−Q(a,t))dt=−∫ba∫dc∂∂yP(t,y)dydt+∫dc∫ba∂∂xQ(x,t)dxdt.
Pero,
−∫ba∫dc∂∂yP(t,y)dydt+∫dc∫ba∂∂xQ(x,t)dxdt=−∫ba∫dc∂∂yP(x,y)dydx+∫dc∫ba∂∂xQ(x,y)dxdy=∫ba∫dc(Qx−Py)dydx=∬D(Qx−Py)dA.
Por lo tanto,∫C⇀F⋅d⇀r=∬D(Qx−Py)dA y hemos probado el teorema de Green en el caso de un rectángulo.
◻
Para probar el teorema de Green sobre una región generalD, podemos descomponernosD en muchos rectángulos diminutos y usar la prueba de que el teorema funciona sobre rectángulos. Los detalles son técnicos, sin embargo, y más allá del alcance de este texto.
Calcular la integral de línea
∮Cx2ydx+(y−3)dy,
dondeC es un rectángulo con vértices(1,1),(4,1)(4,5), y(1,5) orientado en sentido antihorario.
Solución
Vamos⇀F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩=⟨x2y,y−3⟩. Entonces,Qx(x,y)=0 yPy(x,y)=x2. Por lo tanto,Qx−Py=−x2.
DejarD ser la región rectangular encerrada porC (Figura16.4.4). Por el teorema de Green,
∮Cx2ydx+(y−3)dy=∬D(Qx−Py)dA=∬D−x2dA=∫51∫41−x2dxdy=∫51−21dy=−84.

Análisis
Si tuviéramos que evaluar esta integral de línea sin usar el teorema de Green, necesitaríamos parametrizar cada lado del rectángulo, dividir la integral de línea en cuatro integrales de línea separadas y usar los métodos de la sección titulada Integrales de línea para evaluar cada integral. Además, dado que el campo vectorial aquí no es conservador, no podemos aplicar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea. El teorema de Green simplifica mucho el cálculo.
Calcular el trabajo realizado sobre una partícula por campo de fuerza
⇀F(x,y)=⟨y+sinx,ey−x⟩
ya que la partícula atraviesa el círculox2+y2=4 exactamente una vez en sentido contrario a las agujas del reloj, comenzando y terminando en el punto(2,0).
Solución
DejarC denotar el círculo y dejarD ser el disco encerrado porC. El trabajo realizado sobre la partícula es
W=∮C(y+sinx)dx+(ey−x)dy.
Al igual que con Ejemplo16.4.1, esta integral se puede calcular utilizando herramientas que hemos aprendido, pero es más fácil usar la doble integral dada por el teorema de Green (Figura16.4.5).
Vamos⇀F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩=⟨y+sinx,ey−x⟩. Entonces,Qx=−1 yPy=1. Por lo tanto,Qx−Py=−2.
Por el teorema de Green,
W=∮C(y+sin(x))dx+(ey−x)dy=∬D(Qx−Py)dA=∬D−2dA=−2(area(D))=−2π(22)=−8π.

Usa el teorema de Green para calcular la integral de línea
∮Csin(x2)dx+(3x−y)dy.
dondeC es un triángulo rectángulo con vértices(−1,2)(4,2), y(4,5) orientado en sentido antihorario.
- Pista
-
Transforma la línea integral en una doble integral.
- Contestar
-
452
En los dos ejemplos anteriores, la doble integral en el teorema de Green fue más fácil de calcular que la integral de línea, por lo que se utilizó el teorema para calcular la integral de línea. En el siguiente ejemplo, la doble integral es más difícil de calcular que la integral de línea, por lo que utilizamos el teorema de Green para traducir una doble integral en una integral de línea.
Calcular el área encerrada por elipsex2a2+y2b2=1 (Figura16.4.6).

Solución
DejarC denotar la elipse y dejar queD sea la región encerrada porC. Recordemos que la elipse seC puede parametrizar mediante
- x=acost,
- y=bsint,
- 0≤t≤2π.
Calcular el área deD equivale a computar doble integral∬DdA. Para calcular esta integral sin el teorema de Green, necesitaríamosD dividirnos en dos regiones: la región por encima del eje x y la región de abajo. El área de la elipse es
∫a−a∫√b2−(bx/a)20dydx+∫a−a∫0−√b2−(bx/a)2dydx.
Estas dos integrales no son sencillas de calcular (aunque cuando conocemos el valor de la primera integral, conocemos el valor de la segunda por simetría). En lugar de intentar calcularlos, usamos el teorema de Green para∬DdA transformarnos en una línea integral alrededor del límiteC.
Considerar el campo vectorial
F(x,y)=⟨P,Q⟩=⟨−y2,x2⟩.
Entonces,Qx=12 yPy=−12, y por lo tantoQx−Py=1. Aviso que⇀F se eligió para tener la propiedad queQx−Py=1. Como este es el caso, el teorema de Green transforma la línea integral de⇀F másC en la doble integral de 1 sobreD.
Por el teorema de Green,
∬DdA=∬D(Qx−Py)dA=∫C⇀F⋅d⇀r=12∫C−ydx+xdy=12∫2π0−bsint(−asint)+a(cost)bcostdt=12∫2π0abcos2t+absin2tdt=12∫2π0abdt=πab.
Por lo tanto, el área de la elipse esπabunits2.
En Ejemplo16.4.3, utilizamos campo vectorial⇀F(x,y)=⟨P,Q⟩=⟨−y2,x2⟩ para encontrar el área de cualquier elipse. La lógica del ejemplo anterior se puede extender para derivar una fórmula para el área de cualquier regiónD. LetD ser cualquier región con un límite que sea una simple curva cerradaC orientada en sentido antihorario. SiF(x,y)=⟨P,Q⟩=⟨−y2,x2⟩, entoncesQx−Py=1. Por lo tanto, por la misma lógica que en el Ejemplo16.4.3,
area ofD=∬DdA=12∮C−ydx+xdy.
Vale la pena señalar que siF=⟨P,Q⟩ hay algún campo vectorial conQx−Py=1, entonces la lógica del párrafo anterior funciona. Entonces. La ecuación\ ref {greenarea} no es la única ecuación que utiliza parciales mixtos de un campo vectorial para obtener el área de una región.
Encontrar el área de la región encerrada por la curva con parametrizaciónr(t)=⟨sintcost,sint⟩,0≤t≤π.
- Pista
-
Utilice la ecuación\ ref {greenarea}.
- Contestar
-
43
Forma de flujo del teorema de Green
La forma de circulación del teorema de Green relaciona una integral doble sobre regiónD a línea integral∮C⇀F·⇀Tds, dondeC está el límite deD. La forma de flujo del teorema de Green relaciona una doble integral sobre la regiónD con el flujo a través del límiteC. El flujo de un fluido a través de una curva puede ser difícil de calcular usando la integral de la línea de flujo. Esta forma del teorema de Green nos permite traducir una integral de flujo difícil en una doble integral que a menudo es más fácil de calcular.
LetD Ser una región abierta, simplemente conectada con una curva límiteC que es una curva cerrada simple, lisa por tramos que se orienta en sentido antihorario (Figura16.4.7). Let⇀F=⟨P,Q⟩ Ser un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contieneD. Entonces,
∮C⇀F·⇀Nds=∬DPx+QydA.

Debido a que esta forma del teorema de Green contiene vector normal unitario⇀N, a veces se le conoce como la forma normal del teorema de Green.
Recordemos eso∮C⇀F·⇀Nds=∮C−Qdx+Pdy. DejarM=−Q yN=P. Por la forma de circulación del teorema de Green,
∮C−Qdx+Pdy=∮CMdx+Ndy=∬DNx−MydA=∬DPx−(−Q)ydA=∬DPx+QydA.
◻
DejarC ser un círculo de radior centrado en el origen (Figura16.4.8) y dejar⇀F(x,y)=⟨x,y⟩. Calcular el flujo a travésC.

Solución
DejarD ser el disco encerrado porC. El flujo a travésC es∮C⇀F·⇀Nds. Podríamos evaluar esta integral usando herramientas que hemos aprendido, pero el teorema de Green hace que el cálculo sea mucho más sencillo. VamosP(x,y)=x yQ(x,y)=y para eso⇀F=⟨P,Q⟩. Tenga en cuenta quePx=1=Qy, y por lo tantoPx+Qy=2. Por el teorema de Green,
∫C⇀F⋅⇀Nds=∬D2dA=2∬DdA.
Ya que∬DdA es el área del círculo,∬DdA=πr2. Por lo tanto, el flujo a travésC es2πr2.
DejarS ser el triángulo con vértices(0,0),(1,0), y(0,3) orientado en sentido horario (Figura16.4.9). Calcular el flujo de⇀F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩=⟨x2+ey,x+y⟩ travésS.

Solución
Para calcular el flujo sin el teorema de Green, necesitaríamos romper la integral de flujo en tres integrales de línea, una integral para cada lado del triángulo. Usar el teorema de Green para traducir la integral de línea de flujo en una sola integral doble es mucho más simple.
DSea la región encerrada porS. Tenga en cuenta quePx=2x yQy=1; por lo tanto,Px+Qy=2x+1. El teorema de Green se aplica solo a las curvas cerradas simples orientadas en sentido antihorario, pero aún podemos aplicar el teorema porque∮C⇀F·⇀Nds=−∮−S⇀F·⇀Nds y−S está orientado en sentido antihorario. Según el teorema de Green, el flujo es
∮C⇀F·⇀Nds=∮−S⇀F·⇀Nds=−∬D(Px+Qy)dA=−∬D(2x+1)dA.
Observe que el borde superior del triángulo es la líneay=−3x+3. Por lo tanto, en la doble integral iterada, losy -valores van dey=0 ay=−3x+3, y tenemos
−∬D(2x+1)dA=−∫10∫−3x+30(2x+1)dydx=−∫10(2x+1)(−3x+3)dx=−∫10(−6x2+3x+3)dx=−[−2x3+3x22+3x]10=−52.
Calcular el flujo de⇀F(x,y)=⟨x3,y3⟩ a través de un círculo unitario orientado en sentido antihorario.
- Pista
-
Aplica el teorema de Green y usa coordenadas polares.
- Contestar
-
3π2
El agua fluye de un manantial ubicado en el origen. La velocidad del agua es modelada por el campo vectorial⇀v(x,y)=⟨5x+y,x+3y⟩ m/seg. Encuentra la cantidad de agua por segundo que fluye a través del rectángulo con vértices(−1,−2),,(1,−2)(1,3), y(−1,3), orientados en sentido antihorario (Figura16.4.10).

Solución
DejarC representar el rectángulo dado y dejarD ser la región rectangular encerrada porC. Para encontrar la cantidad de agua que fluye a travésC, calculamos el flujo∫C⇀v⋅d⇀r. VamosP(x,y)=5x+y yQ(x,y)=x+3y para eso⇀v=⟨P,Q⟩. Entonces,Px=5 yQy=3. Por el teorema de Green,
∫C⇀v⋅d⇀r=∬D(Px+Qy)dA=∬D8dA=8(area of D)=80.
Por lo tanto, el flujo de agua es de 80 m 2 /seg.
Recordemos que si el campo vectorial⇀F es conservador, entonces⇀F no funciona alrededor de curvas cerradas, es decir, la circulación de⇀F alrededor de una curva cerrada es cero. De hecho, si el dominio de⇀F está simplemente conectado, entonces⇀F es conservador si y sólo si la circulación de⇀F alrededor de cualquier curva cerrada es cero. Si reemplazamos “circulación de⇀F” por “flujo de”⇀F, entonces obtenemos una definición de un campo vectorial libre de fuente. Las siguientes declaraciones son todas formas equivalentes de definir un campo libre de origen⇀F=⟨P,Q⟩ en un dominio simplemente conectado (tenga en cuenta las similitudes con las propiedades de los campos vectoriales conservadores):
- El flujo∮C⇀F·⇀Nds a través de cualquier curva cerradaC es cero.
- SiC1 yC2 son curvas en el dominio de⇀F con los mismos puntos de partida y puntos finales, entonces∫C1⇀F·⇀Nds=∫C2⇀F·⇀Nds. En otras palabras, el flujo es independiente del camino.
- Hay una función de flujog(x,y) para⇀F. Una función de corriente para⇀F=⟨P,Q⟩ es una función g tal queP=gy yQ=−gx .Geométricamente,⇀F=⟨a,b⟩ es tangencial a la curva de nivel deg at(a,b). Dado que el gradiente deg es perpendicular a la curva de nivel deg at(a,b), la función streamg tiene la propiedad⇀F(a,b)⋅⇀∇g(a,b)=0 para cualquier punto(a,b) en el dominio deg. (Las funciones Stream desempeñan el mismo papel para los campos libres de origen que las funciones potenciales juegan para los campos conservadores).
- Px+Qy=0
Verifique que el campo vectorial de rotación⇀F(x,y)=⟨y,−x⟩ esté libre de origen y encuentre una función de flujo para⇀F.
Solución
Tenga en cuenta que el dominio de⇀F es todoℝ^2, que simplemente está conectado. Por lo tanto, para mostrar que\vecs F es fuente libre, podemos mostrar cualquiera de los ítems 1 a 4 de la lista anterior para que sea cierto. En este ejemplo, mostramos que el ítem 4 es verdadero. DejarP(x,y)=y yQ(x,y)=−x. EntoncesP_x+0=Q_y, y por lo tantoP_x+Q_y=0. Así,\vecs F es fuente libre.
Para encontrar una función de flujo para\vecs F, proceda de la misma manera que encontrar una función potencial para un campo conservador. Dejarg ser una función de flujo para\vecs F. Entoncesg_y=y, lo que implica que
g(x,y)=\dfrac{y^2}{2}+h(x).
Ya que−g_x=Q=−x, tenemosh′(x)=x. Por lo tanto,
h(x)=\dfrac{x^2}{2}+C.
DejarC=0 da la función de flujo
g(x,y)=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{2}.
Para confirmar queg es una función de flujo para\vecs F, tenga en cuenta queg_y=y=P y−g_x=−x=Q.
Observe que el campo vectorial de rotación libre de fuente\vecs F(x,y)=⟨y,−x⟩ es perpendicular al campo vectorial radial conservador\vecs \nabla g=⟨x,y⟩ (Figura\PageIndex{11}).
Encuentra una función de flujo para el campo vectorial\vecs F(x,y)=⟨x \sin y,\cos y⟩.
- Pista
-
Siga el esquema proporcionado en el ejemplo anterior.
- Contestar
-
g(x,y)=−x\cos y
Los campos vectoriales que son conservadores y libres de origen son campos vectoriales importantes. Una característica importante de los campos vectoriales conservadores y libres de fuentes en un dominio simplemente conectado es que cualquier función potencialf de dicho campo satisface la ecuación de Laplacef_{xx}+f_{yy}=0. La ecuación de Laplace es fundamental en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales porque modela fenómenos como los potenciales gravitacionales y magnéticos en el espacio, y el potencial de velocidad de un fluido ideal. Una función que satisface la ecuación de Laplace se denomina función armónica. Por lo tanto, cualquier función potencial de un campo vectorial conservador y libre de fuentes es armónica.
Para ver que cualquier función potencial de un campo vectorial conservador y libre de fuente en un dominio simplemente conectado es armónica, dejaf ser tal función potencial de campo vectorial\vecs F=⟨P,Q⟩. Entonces,f_x=P yf_x=Q porque\vecs \nabla f=\vecs F. Por lo tanto,f_{xx}=P_x yf_{yy}=Q_y. Ya que\vecs F es fuente libref_{xx}+f_{yy}=P_x+Q_y=0,, y tenemos quef es armónico.
Para el campo vectorial\vecs F(x,y)=⟨e^x\sin y,e^x\cos y⟩, verifique que el campo sea conservador y libre de fuentes, encuentre una función potencial para\vecs F, y verifique que la función potencial sea armónica.
Solución
DejarP(x,y)=e^x\sin y yQ(x,y)=e^x \cos y. Observe que el dominio de\vecs F es todo de dos espacios, que simplemente está conectado. Por lo tanto, podemos verificar los interparciales de\vecs F para determinar si\vecs F es conservador. Tenga en cuenta queP_y=e^x \cos y=Q_x, también lo\vecs F es conservador. DesdeP_x=e^x \sin y yQ_y=e^x \sin y,P_x+Q_y=0 y el campo es fuente libre.
Para encontrar una función potencial para\vecs F, dejarf ser una función potencial. Entonces,\vecs \nabla f=\vecs F, entoncesf_x(x,y)=e^x \sin y. Integrando esta ecuación con respecto a x daf(x,y)=e^x \sin y+h(y). Ya quef_y(x,y)=e^x \cos y, diferenciandof con respecto a y dae^x\cos y=e^x\cos y+h′(y). Por lo tanto, podemos tomarh(y)=0, yf(x,y)=e^x\sin y es una función potencial paraf.
Para verificar quef es una función armónica, tenga en cuenta quef_{xx}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(e^x\sin y)=e^x \sin y y
f_{yy}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(e^x\cos y)=−e^x\sin y. Por lo tantof_{xx}+f_{yy}=0,, yf satisface la ecuación de Laplace.
¿La función esf(x,y)=e^{x+5y} armónica?
- Pista
-
Determinar si la función satisface la ecuación de Laplace.
- Contestar
-
No
Teorema de Green sobre las Regiones Generales
El teorema de Green, como se ha dicho, se aplica solo a regiones que simplemente están conectadas, es decir, el teorema de Green como se ha dicho hasta ahora no puede manejar regiones con agujeros. Aquí, extendemos el teorema de Green para que funcione en regiones con muchos agujeros finitamente (Figura\PageIndex{12}).

Antes de discutir las extensiones del teorema de Green, necesitamos repasar alguna terminología con respecto al límite de una región. DejarD ser una región y dejarC ser un componente del límite deD. Decimos queC está orientado positivamente si, a medida que caminamosC en dirección de orientación, la región siempreD está a nuestra izquierda. Por lo tanto, la orientación en sentido antihorario del límite de un disco es una orientación positiva, por ejemplo. CLa curva se orienta negativamente si, a medida que caminamosC en dirección de orientación, la región siempreD está a nuestra derecha. La orientación en el sentido de las agujas del reloj del límite de un disco es una orientación negativa, por ejemplo.
DejarD ser una región con finitamente muchos agujeros (de modo queD tiene finitamente muchas curvas de límite), y denotar el límite deD por\partial D (Figura\PageIndex{13}). Para extender el teorema de Green para que pueda manejarloD, dividimos regiónD en dos regiones,D_1\partial D_1 yD_2 (con límites respectivos y\partial D_2), de tal manera queD=D_1\cup D_2 yD_1 niD_2 tiene agujeros (Figura\PageIndex{13}).

Supongamos que el límite deD está orientado como en la figura, con los agujeros internos dados una orientación negativa y el límite exterior dado una orientación positiva. El límite de cada región simplemente conectadaD_1 yD_2 está orientada positivamente. Si\vecs F es un campo vectorial definido enD, entonces el teorema de Green dice que
\begin{align} \oint_{\partial D} \vecs F·d\vecs{r} &=\oint_{\partial D_1}\vecs F·d\vecs{r}+\oint_{\partial D_2}\vecs F·d\vecs{r} \\ &=\iint_{D_1}Q_x−P_y\,dA+\iint_{D_2}Q_x−P_y\,dA \\ &=\iint_D (Q_x−P_y)\,dA.\end{align} \nonumber
Por lo tanto, el teorema de Green aún funciona en una región con agujeros.
Para ver cómo funciona esto en la práctica, considere el anilloD en la Figura\PageIndex{14} y supongamos queF=⟨P,Q⟩ es un campo vectorial definido sobre este anillo. RegiónD tiene un agujero, por lo que no está simplemente conectada. Orientar el círculo exterior del anillo en sentido antihorario y el círculo interno en sentido horario (Figura\PageIndex{14}) para que, cuando dividamos la región enD_1 yD_2, seamos capaces de mantener la región a nuestra izquierda mientras caminamos por un sendero que atraviesa el límite. DejarD_1 ser la mitad superior del anillo yD_2 ser la mitad inferior. Ninguna de estas regiones tiene agujeros, por lo que hemosD dividido en dos regiones simplemente conectadas.
Etiquetamos cada pieza de estos nuevos límites comoP_i para algunosi, como en la Figura\PageIndex{14}. Si comenzamos enP y viajamos a lo largo del límite orientado, el primer segmento esP_1, entoncesP_2,P_3, yP_4. Ahora hemos atravesadoD_1 y vuelto aP. A continuación, empezamos deP nuevo y atravesamosD_2. Dado que la primera pieza del límite es la misma queP_4 enD_1, pero orientada en sentido contrario, la primera pieza deD_2 es−P_4. A continuación, tenemosP_5, entonces−P_2, y finalmenteP_6.

La figura\PageIndex{14} muestra un camino que atraviesa el límite deD. Observe que esta ruta atraviesa el límite de la regiónD_1, vuelve al punto de partida y, a continuación, atraviesa el límite de la regiónD_2. Además, a medida que caminamos por el sendero, la región está siempre a nuestra izquierda. Observe que este recorrido de losP_i caminos cubre todo el límite de la regiónD. Si solo hubiéramos atravesado una porción del límite deD, entonces no podemos aplicar el teorema de Green aD.
El límite de la mitad superior del anillo, por lo tanto, esP_1\cup P_2\cup P_3\cup P_4 y el límite de la mitad inferior del anillo es−P_4\cup P_5\cup −P_2\cup P_6. Entonces, el teorema de Green implica
\begin{align} \oint_{\partial D}\vecs F·d\vecs{r} &=\int_{P_1}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_2}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_3}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_4}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{−P_4}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_5}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{−P_2}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_6}\vecs F·d\vecs{r} \\ &=\int_{P_1}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_2}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_3}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_4}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_4}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_5}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{−P_2}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_6}\vecs F·d\vecs{r} \\ &=\int_{P_1}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_3}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_5}\vecs F·d\vecs{r}+\int_{P_6}\vecs F·d\vecs{r} \\ &=\oint_{\partial D_1}\vecs F·d\vecs{r}+\oint_{\partial D_2}\vecs F·d\vecs{r}\\ &=\iint_{D_1}(Q_x−P_y)\,dA+\iint_{D_2}(Q_x−P_y)\,dA \\ &=\iint_D(Q_x−P_y)\,dA. \end{align} \nonumber
Por lo tanto, llegamos a la ecuación que se encuentra en el teorema de Green, es decir,
\oint_{\partial D}\vecs F·d\vecs{r}=\iint_D (Q_x−P_y)\,dA. \nonumber
La misma lógica implica que la forma de flujo del teorema de Green también se puede extender a una región con muchos agujeros finitamente:
\oint_C F·N\,ds=\iint_D (P_x+Q_y)\,dA. \nonumber
Calcular la integral
\oint_{\partial D}(\sin x−\dfrac{y^3}{3})dx+(\dfrac{y^3}{3}+\sin y)dy, \nonumber
dondeD está el anillo dado por las desigualdades polares1≤r≤2,0≤\theta≤2\pi.
Solución
Aunque noD está simplemente conectado, podemos usar la forma extendida del teorema de Green para calcular la integral. Dado que la integración ocurre sobre un anillo, convertimos a coordenadas polares:
\begin{align*} \oint_{\partial D}(\sin x−\dfrac{y^3}{3})\,dx+(\dfrac{x^3}{3}+\sin y)\,dy &=\iint_D (Q_x−P_y)\,dA \\ &=\iint_D (x^2+y^2)\,dA\\ &=\int_0^{2\pi}\int_1^2 r^3\,drd\theta=\int_0^{2\pi} \dfrac{15}{4}\,d\theta \\ &=\dfrac{15\pi}{2}. \end{align*}
Dejar\vecs F=⟨P,Q⟩=⟨\dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2}⟩ y dejarC ser cualquier simple curva cerrada en un plano orientado en sentido antihorario. ¿Cuáles son los valores posibles de\oint_C \vecs F·d\vecs{r}?
Solución
Usamos la forma extendida del teorema de Green para mostrar que\oint_C \vecs F·d\vecs{r} es0 o−2\pi —es decir, no importa cuán locaC sea la curva, la línea integral de\vecs F lo largoC puede tener solo uno de los dos valores posibles. Consideramos dos casos: el caso cuandoC abarca el origen y el caso cuandoC no abarca el origen.
Caso 1: C no abarca el origen
En este caso, la región encerrada simplementeC se conecta porque el único agujero en el dominio de\vecs F está en el origen. Mostramos en nuestra discusión de los partidos cruzados que\vecs F satisfacen la condición de parcialidad cruzada. Si restringimos el dominio de\vecs F solo aC y la región que encierra, entonces\vecs F con este dominio restringido ahora se define en un dominio simplemente conectado. Dado que\vecs F satisface la propiedad transversal parcial en su dominio restringido, el campo\vecs F es conservador en esta región simplemente conectada y por lo tanto la circulación\oint_C \vecs F·d\vecs{r} es cero.
Caso 2: C Abarca el Origen
En este caso, la región encerrada noC está simplemente conectada porque esta región contiene un agujero en el origen. DejarC_1 ser un círculo de radio a centrado en el origen de manera queC_1 quede completamente dentro de la región encerrada porC (Figura\PageIndex{15}). DarC_1 una orientación en sentido horario.

DejarD ser la región entreC_1 yC, yC se orienta en sentido antihorario. Por la versión extendida del teorema de Green,
\begin{align*} \int_C \vecs F·d\vecs{r}+\int_{C_1}\vecs F·d\vecs{r} &=\iint_D Qx_−P_y \,dA \\[4pt] &=\iint_D−\dfrac{y^2−x^2}{{(x^2+y^2)}^2}+\dfrac{y^2−x^2}{{(x^2+y^2)}^2}dA \\[4pt] &=0, \end{align*}
y por lo tanto
\int_C \vecs F·d\vecs{r}=−\int_{C_1} \vecs F·d\vecs{r}. \nonumber
Ya queC_1 es una curva específica, podemos evaluar\int_{C_1}\vecs F·d\vecs{r}. Vamos
x=a\cos t, \;\; y=a\sin t, \;\; 0≤t≤2\pi \nonumber
ser una parametrización deC_1. Entonces,
\begin{align*} \int_{C_1}\vecs F·d\vecs{r} &=\int_0^{2\pi} F(r(t))·r′(t)dt \\[4pt] &=\int_0^{2\pi} ⟨−\dfrac{\sin(t)}{a},−\dfrac{\cos(t)}{a}⟩·⟨−a\sin(t),−a\cos(t)⟩dt \\[4pt] &=\int_0^{2\pi}{\sin}^2(t)+{\cos}^2(t)dt \\[4pt] &=\int_0^{2\pi}dt=2\pi. \end{align*}
Por lo tanto,\int_C F·ds=−2\pi.
Calcular integral\oint_{\partial D}\vecs F·d\vecs{r}, dondeD está el anillo dado por las desigualdades polares2≤r≤5,0≤\theta≤2\pi, yF(x,y)=⟨x^3,5x+e^y\sin y⟩.
- Pista
-
Utilice la versión extendida del teorema de Green.
- Contestar
-
105\pi
Imagina que eres un médico que acaba de recibir una imagen de resonancia magnética del cerebro de tu paciente. El cerebro tiene un tumor (Figura\PageIndex{16}). ¿Qué tan grande es el tumor? Para ser precisos, ¿cuál es la zona de la región roja? La sección transversal roja del tumor tiene una forma irregular, por lo que es poco probable que se pueda encontrar un conjunto de ecuaciones o desigualdades para la región y luego poder calcular su área por medios convencionales. Se podría aproximar el área cortando la región en minúsculos cuadrados (un enfoque de suma de Riemann), pero este método siempre da una respuesta con algún error.

En lugar de intentar medir el área de la región directamente, podemos usar un dispositivo llamado planímetro rodante para calcular exactamente el área de la región, simplemente midiendo su límite. En este proyecto investigas cómo funciona un planímetro, y usas el teorema de Green para mostrar que el dispositivo calcula el área correctamente.
Un planímetro rodante es un dispositivo que mide el área de una región plana trazando el límite de esa región (Figura\PageIndex{17}). Para medir el área de una región, simplemente corremos el trazador del planímetro alrededor del límite de la región. El planímetro mide el número de vueltas a través de las cuales gira la rueda a medida que trazamos el límite; el área de la forma es proporcional a este número de vueltas de rueda. Podemos derivar la ecuación de proporcionalidad precisa usando el teorema de Green. A medida que el trazador se mueve alrededor del límite de la región, el brazo trazador gira y el rodillo se mueve hacia adelante y hacia atrás (pero no gira).

DejarC denotar el límite de regiónD, el área a calcular. A medida que el trazador atraviesa la curvaC, supongamos que el rodillo se mueve a lo largo del eje y (ya que el rodillo no gira, se puede suponer que se mueve a lo largo de una línea recta). Utilice las coordenadas(x,y) para representar puntos en el límiteC y las coordenadas(0,Y) para representar la posición del pivote. A medida que el planímetro trazaC, el pivote se mueve a lo largo del eje y mientras que el brazo trazador gira sobre el pivote.
Mira una breve animación de un planímetro en acción.
Comience el análisis considerando el movimiento del trazador a medida que se mueve desde un punto en(x,y) sentido antihorario hasta un punto(x+dx,y+dy) cercano a(x,y) (Figura\PageIndex{18}). El pivote también se mueve, de punto(0,Y) a punto cercano(0,Y+dY). ¿Cuánto gira la rueda como resultado de este movimiento? Para responder a esta pregunta, rompa el movimiento en dos partes. Primero, haga rodar el pivote a lo largo del eje y de(0,Y) a(0,Y+dY) sin girar el brazo trazador. El brazo trazador termina entonces en un punto(x,y+dY) manteniendo un ángulo constante\phi con el eje x. Segundo, gire el brazo trazador un ángulod\theta sin mover el rodillo. Ahora el trazador está en el punto(x+dx,y+dy). Deje que ll sea la distancia desde el pivote a la rueda y deje que L sea la distancia desde el pivote hasta el trazador (la longitud del brazo trazador).

- Explique por qué es la distancia total por la que rueda la rueda el pequeño movimiento que se acaba de describir es\sin \phi dY+ld\theta=\dfrac{x}{L}dY+ld\theta
- \oint_C d\theta=0Demuéstralo.
- Utilice el paso 2 para mostrar que la distancia total de rodadura de la rueda a medida que el trazador atraviesa la curvaC es el balanceo
total de la rueda=\dfrac{1}{L}\oint_C xdY.
Ahora que tienes una ecuación para la distancia total de rodadura de la rueda, conecta esta ecuación al teorema de Green para calcular el áreaD encerrada porC. - x^2+(y−Y)^2=L^2Demuéstralo.
- Supongamos que la orientación del planímetro es como se muestra en la Figura\PageIndex{18}. Explique por quéY≤y, y utilice esta desigualdad para mostrar que hay un valor único deY para cada punto(x,y):Y=y=\sqrt{L^2−x^2}.
- Usa el paso 5 para demostrar quedY=dy+\dfrac{x}{L^2−x^2}dx.
- Usa el teorema de Green para demostrarlo\displaystyle \oint_C \dfrac{x}{L^2−x^2}dx=0.
- Use el paso 7 para mostrar que el rollo total de la rueda es
\text{Total wheel roll}\quad =\quad 1L\oint_C x\,dy. \nonumber
Tomó un poco de trabajo, pero esta ecuación dice que la variable de integración Y en el paso 3 puede ser reemplazada por y.
- Usa el teorema de Green para mostrar que el área deD es\oint_C xdy. La lógica es similar a la lógica utilizada para mostrar que el área de\displaystyle D=12\oint_C −y\,dx+x\,dy.
- Concluir que el área deD es igual a la longitud del brazo trazador multiplicado por la distancia total de rodadura de la rueda.
Ya sabes cómo funciona un planímetro y has utilizado el teorema de Green para justificar que funciona. Para calcular el área de una región planaD, utilice un planímetro para trazar el límite de la región. El área de la región es la longitud del brazo trazador multiplicada por la distancia que rodó la rueda.
Conceptos clave
- El teorema de Green relaciona la integral sobre una región conectada con una integral sobre el límite de la región. El teorema de Green es una versión del Teorema Fundamental del Cálculo en una dimensión superior.
- El teorema de Green viene en dos formas: una forma de circulación y una forma de flujo. En la forma de circulación, el integrando es\vecs F·\vecs T. En la forma de flujo, el integrando es\vecs F·\vecs N.
- El teorema de Green se puede utilizar para transformar una integral de línea difícil en una doble integral más fácil, o para transformar una integral doble difícil en una integral de línea más fácil.
- Un campo vectorial es fuente libre si tiene una función de flujo. El flujo de un campo vectorial libre de fuente a través de una curva cerrada es cero, así como la circulación de un campo vectorial conservador a través de una curva cerrada es cero.
Ecuaciones Clave
- Teorema de Green, forma de circulación
\displaystyle ∮_C P\,dx+Q\,dy=∬_D Q_x−P_y\,dA, dondeC está el límite deD - Teorema de Green, forma de flujo
\displaystyle ∮_C\vecs F·\vecs N\,ds=∬_D P_x+Q_y\,dA, dondeC está el límite deD - Teorema de Green, versión extendida
\displaystyle ∮_{\partial D}\vecs F·d\vecs{r}=∬_D Q_x−P_y\,dA
Glosario
- Teorema de Green
- relaciona la integral sobre una región conectada con una integral sobre el límite de la región
- función stream
- si\vecs F=⟨P,Q⟩ es un campo vectorial libre de fuente, entonces la función de flujog es una función tal queP=g_y yQ=−g_x