3.1: Números complejos

Objetivos de aprendizaje

• Expresar raíces cuadradas de números negativos como múltiplos de\(i\).
• Trazar números complejos en el plano complejo.
• Sumar y restar números complejos.
• Multiplicar y dividir números complejos.

El estudio de las matemáticas se construye continuamente sobre sí mismo. Los enteros negativos, por ejemplo, llenan un vacío dejado por el conjunto de enteros positivos. El conjunto de números racionales, a su vez, llena un vacío dejado por el conjunto de enteros. El conjunto de números reales llena un vacío dejado por el conjunto de números racionales. No es sorprendente que el conjunto de números reales también tenga vacíos. Por ejemplo, todavía no tenemos solución a ecuaciones como

\[x^2+4=0\]

Nuestras mejores conjeturas podrían ser +2 o —2. Pero si probamos +2 en esta ecuación, no funciona. Si probamos —2, no funciona. Si queremos tener una solución para esta ecuación, tendremos que ir más lejos de lo que tenemos hasta ahora. Después de todo, a este punto hemos descrito la raíz cuadrada de un número negativo como indefinida. Afortunadamente, existe otro sistema de números que brinda soluciones a problemas como estos. En esta sección, exploraremos este sistema de números y cómo trabajar dentro de él.

Expresando raíces cuadradas de números negativos como múltiplos de i

Sabemos encontrar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De manera similar, podemos encontrar la raíz cuadrada de un número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor en el radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario. El número imaginario i se define como la raíz cuadrada del negativo 1.

\[\sqrt{-1}=i\]

Entonces, usando las propiedades de los radicales,

\[i^2=(\sqrt{-1})^2=−1\]

Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como múltiplo de i. Considere la raíz cuadrada de —25.

\[\begin{align} \sqrt{-25}&=\sqrt{25 {\cdot} (-1)}\\ &=\sqrt{25}\sqrt{-1} \\ &= 5i \end{align}\]

Usamos 5 i y no −5 i porque la raíz principal de 25 es la raíz positiva.

Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Un número complejo se expresa en forma estándar cuando se escribe\(a+bi\) donde\(a\) está la parte real y\(bi\) es la parte imaginaria. Por ejemplo,\(5+2i\) es un número complejo. Entonces, también, lo es\(3+4\sqrt{3}i\).

Figura\(\PageIndex{1}\)

Los números imaginarios se distinguen de los números reales porque un número imaginario cuadrado produce un número real negativo. Recordemos, cuando se cuadra un número real positivo, el resultado es un número real positivo y cuando se cuadra un número real negativo, nuevamente, el resultado es un número real positivo. Los números complejos son una combinación de números reales e imaginarios.

Números imaginarios y complejos

Un número complejo es un número de la forma\(a+bi\) donde

• \(a\)es la parte real del número complejo.
• \(bi\)es la parte imaginaria del número complejo.

Si\(b=0\), entonces\(a+bi\) es un número real. Si\(a=0\) y no\(b\) es igual a 0, el número complejo se denomina número imaginario. Un número imaginario es una raíz par de un número negativo.

Forma estándar

Dado un número imaginario, expresarlo en forma estándar.

1. Escribir\(\sqrt{−a}\) como\(\sqrt{a}\sqrt{−1}\).
2. Expresar\(\sqrt{−1}\) como \(i\).
3. Escribe\(\sqrt{a}{\cdot}i\) en la forma más simple.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Expressing an Imaginary Number in Standard Form

Express\(\sqrt{−9}\) en forma estándar.

Solución

\[\sqrt{−9}=\sqrt{9}\sqrt{−1}=3i \nonumber\]

En forma estándar, esto es\(0+3i\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Express\(\sqrt{−24}\) en forma estándar.

Responder

\(\sqrt{−24}=0+2i\sqrt{6}\)

Trazar un número complejo en el plano complejo

No podemos trazar números complejos en una recta numérica como podríamos números reales. Sin embargo, todavía podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo necesitamos abordar los dos componentes del número. Utilizamos el plano complejo, que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa el componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos en el plano, expresados como pares ordenados\((a,b)\), donde\(a\) representa la coordenada para el eje horizontal y\(b\) representa la coordenada para el eje vertical.

Consideremos el número\(−2+3i\). La parte real del número complejo es−2 y la parte imaginaria es\(3i\). Trazamos el par ordenado\((−2,3)\) para representar el número complejo\(−2+3i\) como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\)

Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de un número complejo,\(-2 + 3i\). Tenga en cuenta que la parte real\((-2)\) se traza en el eje x y la parte imaginaria\((3i)\) se traza en el eje y.

Plano complejo

En el plano complejo, el eje horizontal es el eje real, y el eje vertical es el eje imaginario como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): El plano complejo que muestra que el eje horizontal (en el plano real, el eje x) se conoce como el eje real y el eje vertical (en el plano real, el eje y) se conoce como el eje imaginario.

Cómo...

Dado un número complejo, representan sus componentes en el plano complejo.

1. Determinar la parte real y la parte imaginaria del número complejo.
2. Muévase a lo largo del eje horizontal para mostrar la parte real del número.
3. Muévase paralelo al eje vertical para mostrar la parte imaginaria del número.
4. Trazar el punto.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Plotting a Complex Number on the Complex Plane

Trazar el número complejo\(3−4i\) en el plano complejo.

Solución

La parte real del número complejo es 3, y la parte imaginaria lo es\(−4i\). Trazamos el par ordenado\((3,−4)\) como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Gráfica de un número complejo,\(3 - 4i\). Tenga en cuenta que la parte real\((3)\) se traza en el eje x y la parte imaginaria\((-4i)\) se traza en el eje y.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Trazar el número complejo\(−4−i\) en el plano complejo.

Responder

Figura\(\PageIndex{5}\)

Sumando y restando números complejos

Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas en números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y combinamos las partes imaginarias.

Números Complejos: Suma y Resta

Sumando números complejos:

\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

Restar números complejos:

\[(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i\]

Cómo...

Dados dos números complejos, encuentra la suma o diferencia.

1. Identificar las partes reales e imaginarias de cada número.
2. Sumar o restar las partes reales.
3. Suma o resta las partes imaginarias.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Adding Complex Numbers

Agregar\(3−4i\) y\(2+5i\).

Solución

Agregamos las partes reales y agregamos las partes imaginarias.

\[\begin{align*} (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i \\ (3−4i)+(2+5i)&=(3+2)+(−4+5)i \\ &=5+i \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Restar\(2+5i\) de\(3–4i\).

Responder

\((3−4i)−(2+5i)=1−9i\)

Multiplicar números complejos

Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La mayor diferencia es que trabajamos con las partes real e imaginaria por separado.

Multiplicar un número complejo por un número real

Empecemos multiplicando un número complejo por un número real. Distribuimos el número real tal como lo haríamos con un binomio. Entonces, por ejemplo,

Figura\(\PageIndex{6}\)

Cómo...

Dado un número complejo y un número real, multiplique para encontrar el producto.

1. Utilice la propiedad distributiva.
2. Simplificar.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Multiplying a Complex Number by a Real Number

Encuentra el producto\(4(2+5i).\)

Solución

Distribuir el 4.

\[\begin{align*} 4(2+5i)&=(4⋅2)+(4⋅5i) \\ &=8+20i \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el producto\(−4(2+6i)\).

Responder

\(−8−24i\)

Multiplicar números complejos juntos

Ahora, multipliquemos dos números complejos. Podemos usar la propiedad distributiva o el método FOIL. Recordemos que FOIL es un acrónimo para multiplicar los términos Primero, Exterior, Interior y Último juntos. Usando la propiedad distributiva o el método FOIL, obtenemos

\[(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2 \nonumber\]

Porque\(i^2=−1\), tenemos

\[(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci−bd \nonumber\]

Para simplificar, combinamos las partes reales, y combinamos las partes imaginarias.

\[(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i \nonumber\]

Cómo...

Dados dos números complejos, multiplicar para encontrar el producto.

1. Utilice la propiedad distributiva o el método FOIL.
2. Simplificar.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Multiplying a Complex Number by a Complex Number

Multiplicar\((4+3i)(2−5i)\).

Solución

Uso\((a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\)

\[\begin{align*} (4+3i)(2−5i)&=(4⋅2−3⋅(−5))+(4⋅(−5)+3⋅2)i \\ &=(8+15)+(−20+6)i \\ &=23−14i \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Multiplicar\((3−4i)(2+3i)\).

Responder

\(18+i\)

Dividir números complejos

La división de dos números complejos es más complicada que la suma, la resta y la multiplicación porque no podemos dividir por un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción debe tener un denominador de número real. Necesitamos encontrar un término por el que podamos multiplicar el numerador y el denominador que elimine la porción imaginaria del denominador para que terminemos con un número real como denominador. A este término se le llama el conjugado complejo del denominador, que se encuentra cambiando el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el complejo conjugado de\(a+bi\) es\(a−bi\).

Tenga en cuenta que los conjugados complejos tienen una relación recíproca: El conjugado complejo de\(a+bi\) es\(a−bi\), y el conjugado complejo de\(a−bi\) es\(a+bi\). Además, cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejas, las soluciones son siempre conjugados complejos entre sí.

Supongamos que queremos dividir\(c+di\) por\(a+bi\), donde ni a ni\(b\) es igual a cero. Primero escribimos la división como una fracción, luego encontramos el complejo conjugado del denominador, y multiplicamos.

\[\dfrac{c+di}{a+bi} \, \text{ where $a{\neq}0$ and $b{\neq}0$} \nonumber\]

Multiplique el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.

\[\dfrac{(c+di)}{(a+bi)}{\cdot}\dfrac{(a−bi)}{(a−bi)}=\dfrac{(c+di)(a−bi)}{(a+bi)(a−bi)} \nonumber\]

Aplicar la propiedad distributiva.

\[=\dfrac{ca−cbi+adi−bdi^2}{a^2−abi+abi−b^2i^2} \nonumber\]

Simplificar, recordando eso\(i^2=−1\).

\[=\dfrac{ca−cbi+adi−bd(−1)}{a^2−abi+abi−b^2(−1)} \\ =\dfrac{(ca+bd)+(ad−cb)i}{a^2+b^2} \nonumber\]

Definición: El Conjugado Complejo

El conjugado complejo de un número complejo\(a+bi\) es\(a−bi\). Se encuentra cambiando el signo de la parte imaginaria del número complejo. La parte real del número se deja sin cambios.

• Cuando un número complejo se multiplica por su conjugado complejo, el resultado es un número real.
• Cuando se agrega un número complejo a su conjugado complejo, el resultado es un número real.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Finding Complex Conjugates

Encuentra el complejo conjugado de cada número.

1. \(2+i\sqrt{5}\)
2. \(−\frac{1}{2}i\)

Solución

a. El número ya está en el formulario\(a+bi\). El conjugado complejo es\(a−bi\), o\(2−i\sqrt{5}\).
b. Podemos reescribir este número en la forma\(a+bi\) como\(0−\frac{1}{2}i\). El conjugado complejo es\(a−bi\), o\(0+\frac{1}{2}i\). Esto se puede escribir simplemente como\(\frac{1}{2}i\).

Análisis

Si bien hemos visto que podemos encontrar el complejo conjugado de un número imaginario, en la práctica generalmente encontramos los conjugados complejos de solo números complejos con un componente tanto real como imaginario. Para obtener un número real a partir de un número imaginario, simplemente podemos multiplicar por\(i\).

Cómo...

Dados dos números complejos, dividir uno por otro.

1. Escribe el problema de división como una fracción.
2. Determinar el complejo conjugado del denominador.
3. Multiplique el numerador y denominador de la fracción por el complejo conjugado del denominador.
4. Simplificar.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Dividing Complex Numbers

Dividir\((2+5i)\) por\((4−i)\).

Solución

Comenzamos por escribir el problema como una fracción.

\[\dfrac{(2+5i)}{(4−i)} \nonumber\]

Después multiplicamos el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.

\[\dfrac{(2+5i)}{(4−i)}{\cdot}\dfrac{(4+i)}{(4+i)} \nonumber\]

Para multiplicar dos números complejos, ampliamos el producto como lo haríamos con polinomios (el proceso comúnmente llamado FOIL).

\[\begin{align} \dfrac{(2+5i)}{(4−i)}{\cdot}\dfrac{(4+i)}{(4+i)}&=\dfrac{8+2i+20i+5i^2}{16+4i−4i−i^2} \\ &=\dfrac{8+2i+20i+5(−1)}{16+4i−4i−(−1)} &\text{ because $i^2=-1$} \\ &=\dfrac{3+22i}{17} \\ &=\dfrac{3}{17}+\dfrac{22}{17}i & \text{Separate real and imaginary parts.} \end{align}\]

Tenga en cuenta que esto expresa el cociente en forma estándar.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Substituting a Complex Number into a Polynomial Function

Vamos\(f(x)=x^2−5x+2\). Evaluar\(f(3+i)\).

Solución

Sustituir\(x=3+i\) en la función\(f(x)=x^2−5x+2\) y simplificar.

\[\begin{align*} f(3+i) &= (3+i)^2 - 5(3+i) + 2\; \qquad \text{Substitute 3+i for x}\\ &= (3+6i+i^2) - (15+5i) + 2\; \qquad \text{Multiply}\\ &= 9+6i+(-1)-15-5i+2\; \qquad \text{Subsitute -1 for }i^2\\ &= -5+i\; \qquad \text{Combine like terms} \end{align*}\]

Análisis

Escribimos\(f(3+i)=−5+i\). Observe que la entrada es\(3+i\) y la salida es\(−5+i\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Vamos\(f(x)=2x^2−3x\). Evaluar\(f(8−i)\).

Responder

\(102−29i\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Substituting an Imaginary Number in a Rational Function

Vamos\(f(x)=\frac{2+x}{x+3}\). Evaluar\(f(10i)\).

Solución

Sustituir\(x=10i\) y simplificar.

\[\begin{align*} &\dfrac{2+10i}{10i+3} &\text{Substitute $10i$ for $x$.} \\ &\dfrac{2+10i}{3+10i} &\text{Rewrite the denominator in standard form.} \\ &\dfrac{2+10i}{3+10i}{\cdot}\dfrac{3–10i}{3–10i} &\text{Multiply the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator.}\\ &\dfrac{6–20i+30i–100i^2}{9–30i+30i–100i^2} &\text{Multiply using the distributive property or the FOIL method.} \\ &\dfrac{6–20i+30i–100(–1)}{9–30i+30i–100(–1)} &\text{Substitute –1 for $i^2$.}\\ &\dfrac{106+10i}{109} &\text{Simplify.}\\ &\dfrac{106}{109}+\dfrac{10}{109} &\text{Separate the real and imaginary parts.} \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Vamos\(f(x)=\frac{x+1}{x−4}\). Evaluar\(f(−i)\).

Responder

\(−\frac{3}{17}+\frac{5i}{17}\)

Simplificación de los poderes\(i\)

Los poderes de\(i\) son cíclicos. Veamos qué pasa cuando elevamos i a poderes crecientes.

\[\begin{align*} i^1&=i \\[4pt] i^2&=−1 \\[4pt] i^3&=i^2⋅i=−1⋅i=−i \\[4pt] i^4&=i^3⋅i=−i⋅i=−i^2=−(−1)=1 \\[4pt] i^5&=i^4⋅i=1⋅i=i \end{align*}\]

Podemos ver que cuando llegamos al quinto poder de\(i\), es igual al primer poder. A medida que sigamos multiplicándonos\(i\) por sí mismos para aumentar los poderes, veremos un ciclo de 4. Examinemos los siguientes 4 poderes de\(i\).

\[\begin{align*} i^6&=i^5⋅i=i⋅i=i^2=−1 \\[4pt] i^7&=i^6⋅i=i^2⋅i=i^3=−i \\[4pt] i^8&=i^7⋅i=i^3⋅i=i^4=1 \\[4pt] i^9&=i^8⋅i=i^4⋅i=i^5=i \end{align*}\]

Ejemplo\(\PageIndex{10}\): Simplifying Powers of \(i\)

Evaluar\(i^{35}\).

Solución

Ya que\(i^4=1\), podemos simplificar el problema factorizando tantos factores de i^4 como sea posible. Para ello, primero determine cuántas veces 4 entra en 35:\(35=4⋅8+3\).

\[i^{35}=i^{4⋅8+3}=i^{4⋅8}⋅i^{3}=(i^4)^8⋅i^3=1^8⋅i^3=i^3=−i \nonumber \]

Q & A

¿Podemos escribir\(i^35\) de otras maneras útiles?

Como vimos en Ejemplo\(\PageIndex{10}\), reducimos\(i^{35}\) a\(i^3\) dividiendo el exponente por 4 y usando el resto para encontrar la forma simplificada. Pero quizás otra factorización de\(i^{35}\) puede ser más útil. \(\PageIndex{1}\)El cuadro muestra algunas otras factorizaciones posibles.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Cada uno de estos eventualmente dará como resultado la respuesta que obtuvimos anteriormente, pero puede requerir varios pasos más que nuestro método anterior.

Factorización de\(i^{35}\)	\(i^{34}{\cdot}i\)	\(i^{33}{\cdot}i^2\)	\(i^{31}{\cdot}i^4\)	\(i^{19}{\cdot}i^{16}\)
Forma reducida	\(\big(i^2\big)^{17}{\cdot}i\)	\(i^{33}{\cdot}(-1)\)	\(i^{31}{\cdot}1\)	\(i^{19}{\cdot}\big(i^4\big)^4\)
Forma simplificada	\((-1)^{17}{\cdot}i\)	\(-i^{33}\)	\(i^{31}\)	\(i^{19}\)

Conceptos clave

• La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir como un múltiplo de\(i\).
• Para trazar un número complejo, utilizamos dos líneas numéricas, cruzadas para formar el plano complejo. El eje horizontal es el eje real, y el eje vertical es el eje imaginario.
• Los números complejos se pueden sumar y restar combinando las partes reales y combinando las partes imaginarias.
• Los números complejos se pueden multiplicar y dividir.
• Para multiplicar números complejos, distribuir igual que con polinomios.
• Para dividir números complejos, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador para eliminar el número complejo del denominador.
• Los poderes de\(i\) son cíclicos, repitiéndose cada cuatro.

Glosario

complejo conjugado
el número complejo en el que se cambia el signo de la parte imaginaria y la parte real del número se deja sin cambios; cuando se suma o se multiplica por el número complejo original, el resultado es un número real

número complejo
la suma de un número real y un número imaginario, escrito en la forma estándar\(a+bi\), donde\(a\) está la parte real, y\(bi\) es la parte imaginaria

plano complejo
un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal se usa para representar la parte real de un número complejo y el eje vertical se usa para representar la parte imaginaria de un número complejo

número imaginario
un número en la forma bi donde\(i=\sqrt{−1}\)