5.5: Dividir polinomios
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- Dividiendo monomios
- Dividiendo un polinomio por un monomio
- Dividir polinomios usando división larga
- División de polinomios mediante división sintética
- Dividir funciones polinómicas
- Utilizar el resto y los teoremas de los factores
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
Dividiendo monomios
Ahora estamos familiarizados con todas las propiedades de los exponentes y las usamos para multiplicar polinomios. A continuación, usaremos estas propiedades para dividir monomios y polinomios.
Encuentra el cociente: \(54a^2b^3÷ (−6ab^5)\).
Solución
Cuando dividimos monomios con más de una variable, escribimos una fracción para cada variable.
\(\begin{array} {ll} {} &{54a^2b^3÷(−6ab^5)} \\[5pt] {\text{Rewrite as a fraction.}} &{\dfrac{54a^2b^3}{−6ab^5}} \\[5pt] {\text{Use fraction multiplication.}} &{\dfrac{54}{−6}·\dfrac{a^2}{a}·\dfrac{b^3}{b^5}} \\[5pt] {\text{Simplify and use the Quotient Property.}} &{−9·a·\dfrac{1}{b^2}} \\[5pt] {\text{Multiply.}} &{−\dfrac{9a}{b^2}} \end{array}\)
Encuentra el cociente: \(−72a^7b^3÷(8a^{12}b^4)\).
- Responder
-
\(−\dfrac{9}{a^5b}\)
Encuentra el cociente: \(−63c^8d^3÷(7c^{12}d^2)\).
- Responder
-
\(\dfrac{−9d}{c^4}\)
Una vez que te familiarices con el proceso y lo hayas practicado paso a paso varias veces, es posible que puedas simplificar una fracción en un solo paso.
Encuentra el cociente: \(\dfrac{14x^7y^{12}}{21x^{11}y^6}\).
Solución
Tenga mucho cuidado de simplificar \(\dfrac{14}{21}\) dividiendo un factor común, y de simplificar las variables restando sus exponentes.
\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{14x^7y^{12}}{21x^{11}y^6}} \\ {\text{Simplify and use the Quotient Property.}} &{\dfrac{2y^6}{3x^4}} \\ \end{array}\)
Encuentra el cociente: \(\dfrac{28x^5y^{14}}{49x^9y^{12}}\).
- Responder
-
\(\dfrac{4y^2}{7x^4}\)
Encuentra el cociente: \(\dfrac{30m^5n^{11}}{48m^{10}n^{14}}\).
- Responder
-
\(\dfrac{5}{8m^5n^3}\)
Divide un polinomio por un monomio
Ahora que sabemos dividir un monomio por un monomio, el siguiente procedimiento es dividir un polinomio de dos o más términos por un monomio. El método que usaremos para dividir un polinomio por un monomio se basa en las propiedades de la adición de fracciones. Por lo que comenzaremos con un ejemplo para revisar la adición de fracciones. La suma \(\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}\) simplifica a \(\dfrac{y+2}{5}\). Ahora haremos esto a la inversa para dividir una sola fracción en fracciones separadas. Por ejemplo, \(\dfrac{y+2}{5}\) se puede escribir \(\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}\).
Este es el “reverso” de la suma de fracciones y establece que si a, b, y cson números donde \(c\neq 0\), entonces \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\). Usaremos esto para dividir polinomios por monomios.
Para dividir un polinomio por un monomio, divida cada término del polinomio por el monomio.
Encuentra el cociente: \((18x^3y−36xy^2)÷(−3xy)\).
Solución
\(\begin{array} {ll} {} &{(18x^3y−36xy^2)÷(−3xy)} \\[5pt] {\text{Rewrite as a fraction.}} &{\dfrac{18x^3y−36xy^2}{−3xy}} \\[5pt] {\text{Divide each term by the divisor. Be careful with the signs!}} &{\dfrac{18x^3y}{−3xy}−\dfrac{36xy^2}{−3xy}} \\[5pt] {\text{Simplify.}} &{−6x^2+12y} \end{array}\)
Encuentra el cociente: \((32a^2b−16ab^2)÷(−8ab)\).
- Responder
-
\(−4a+2b\)
Encuentra el cociente: \((−48a^8b^4−36a^6b^5)÷(−6a^3b^3)\).
- Responder
-
\(8a^5b+6a^3b^2\)
Dividir polinomios usando división larga
Dividimos un polinomio por un binomio, seguimos un procedimiento muy similar a la división larga de números. Entonces veamos con atención los pasos que damos cuando dividimos un número de 3 dígitos, 875, por un número de 2 dígitos, 25.
Comprobamos la división multiplicando el cociente por el divisor. Si hicimos la división correctamente, el producto debería igualar el dividendo.
\[\begin{array} {l} {35·25} \\ {875\checkmark} \\ \nonumber \end{array}\]
Ahora dividiremos un trinomio por un binomio. Al leer el ejemplo, observe lo similares que son los pasos al ejemplo numérico anterior.
Encuentra el cociente: \((x^2+9x+20)÷(x+5)\).
Solución
| \(\require{enclose}\) | \(\qquad (x^2+9x+20) \div (x+5)\) |
| Escríbelo como un problema de división larga. Asegúrese de que el dividendo esté en forma estándar. |
\(\qquad x+5\enclose{longdiv}{ x^2+9x+20\phantom{0}} \) |
|
Dividir \(x^2\) por \(x\). Puede ser útil preguntarse: “¿ \(x\) Por qué necesito |
\(\qquad \begin{array}{r} {\color{red}x}\hspace{2.3em}\\[-3pt] {\color{red}x}+5\enclose{longdiv}{ {\color{red}x^2}+9x+20\phantom{0}} \end{array}\) |
| Poner la respuesta, \(x\), en el cociente a lo largo del \(x\) término. Multiplicar \(x\) veces \(x+5\). Alinear los términos similares bajo el dividendo. |
\(\qquad \begin{array}{r}x\hspace{2.3em}\\[-3pt] x+5\enclose{longdiv}{x^2+9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{\color{red}x^2+5x}\hspace{2.4em} \end{array}\) |
| Restar \(x^2+5x\) de \(x^2+9x\). Es posible que le resulte más fácil cambiar las señales y luego agregar. Entonces derribar el último término, \(20.\) |
\(\qquad \begin{array}{r}x\hspace{2.3em}\\[-3pt] x+5\enclose{longdiv}{x^2+\phantom{00}9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}x^2+({\color{red}-}5x)}\hspace{2.1em}\\[-3pt] {\color{red}4x+20}\hspace{0.5em} \end{array}\) |
Dividir \(4x\) por \(x\). Puede ser útil preguntarse: “¿ \(x\) Por qué necesito multiplicar para obtener \(4x\)?” Poner la respuesta, \(4\), en el cociente sobre el término constante. |
\(\qquad \begin{array}{r}x+\phantom{0}{\color{red}4}\hspace{.5em}\\[-3pt] {\color{red}x}+5\enclose{longdiv}{x^2+\phantom{00}9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}x^2+({\color{red}-}5x)}\hspace{2.1em}\\[-3pt] {\color{red}4x}+20\hspace{0.5em} \end{array}\) |
| Multiplica 4 veces \(x+5\). |
\(\qquad \begin{array}{r}x+\phantom{0}4\hspace{.5em}\\[-3pt] x+5\enclose{longdiv}{x^2+\phantom{00}9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}x^2+({\color{red}-}5x)}\hspace{2.1em}\\[-3pt] 4x+20\hspace{0.5em}\\[-3pt] \underline{ \color{red}4x+20}\hspace{.5em} \end{array}\) |
| Restar \(4x+20\) de \(4x+20\). |
\(\qquad \begin{array}{r}x+\phantom{0}4\hspace{.5em}\\[-3pt] x+5\enclose{longdiv}{x^2+\phantom{00}9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}x^2+({\color{red}-}5x)}\hspace{2.1em}\\[-3pt] 4x+20\hspace{.5em}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}4x+({\color{red}-}20)}\\[-3pt] 0\hspace{.33em}\end{array}\) |
|
Comprobar: \(\begin{array} {ll} {\text{Multiply the quotient by the divisor.}} &{(x+4)(x+5)} \\ {\text{You should get the dividend.}} &{x^2+9x+20\checkmark}\\ \end{array}\) |
Encuentra el cociente: \((y^2+10y+21)÷(y+3)\).
- Responder
-
\(y+7\)
Encuentra el cociente: \((m^2+9m+20)÷(m+4)\).
- Responder
-
\(m+5\)
Cuando dividimos 875 por 25, no teníamos remanente. Pero a veces la división de números sí deja un resto. Lo mismo ocurre cuando dividimos polinomios. En el siguiente ejemplo, tendremos una división que deja un resto. Escribimos el resto como fracción con el divisor como denominador.
Mira hacia atrás los dividendos en ejemplos anteriores. Los términos se escribieron en orden descendente de grados, y no faltaron grados. El dividendo en este ejemplo será \(x^4−x^2+5x−6\). Le falta un \(x^3\) término. Agregaremos adentro \(0x^3\) como marcador de posición.
Encuentra el cociente: \((x^4−x^2+5x−6)÷(x+2)\).
Solución
Observe que no hay \(x^3\) término en el dividendo. Agregaremos \(0x^3\) como marcador de posición.
| Escríbelo como un problema de división larga. Asegúrese de que el dividendo esté en forma estándar con marcadores de posición para los términos faltantes. | |
| Dividir \(x^4\) por \(x\). Poner la respuesta, \(x^3\), en el cociente a lo largo del \(x^3\) término. Multiplicar \(x^3\) veces \(x+2\). Alinear los términos similares. Restar y luego bajar el siguiente término. |
|
| Dividir \(−2x^3\) por \(x\). Poner la respuesta, \(−2x^2\), en el cociente a lo largo del \(x^2\) término. Multiplicar \(−2x^2\) veces \(x+1\). Alinear los términos similares Restar y derribar el siguiente término. |
|
| Dividir \(3x^2\) por \(x\). Poner la respuesta, \(3x\), en el cociente a lo largo del \(x\) término. Multiplicar \(3x\) veces \(x+1\). Alinear los términos similares. Restar y derribar el siguiente término. |
|
| Dividir \(−x\) por \(x\). Poner la respuesta, \(−1\), en el cociente sobre el término constante. Multiplicar \(−1\) veces \(x+1\). Alinear los términos similares. Cambia las señales, agrega. Escribe el resto como fracción con el divisor como denominador. |
|
| Para comprobar, multiplicar \((x+2)(x^3−2x^2+3x−1−4x+2)\). El resultado debe ser \(x^4−x^2+5x−6\). |
Encuentra el cociente: \((x^4−7x^2+7x+6)÷(x+3)\).
- Responder
-
\(x^3−3x^2+2x+1+3x+3\)
Encuentra el cociente: \((x^4−11x^2−7x−6)÷(x+3)\).
- Responder
-
\(x^3−3x^2−2x−1−3x+3\)
En el siguiente ejemplo, dividiremos por \(2a−3\). A medida que nos dividamos, tendremos que considerar las constantes así como las variables.
Encuentra el cociente: \((8a^3+27)÷(2a+3)\).
Solución
En esta ocasión mostraremos la división todo en un solo paso. Necesitamos agregar dos marcadores de posición para poder dividir.
Para comprobar, multiplicar \((2a+3)(4a^2−6a+9)\).
El resultado debe ser \(8a^3+27\).
Encuentra el cociente: \((x^3−64)÷(x−4)\).
- Responder
-
\(x^2+4x+16\)
Encuentra el cociente: \((125x^3−8)÷(5x−2)\).
- Responder
-
\(25x^2+10x+4\)
Divide polinomios usando división sintética
Como hemos mencionado antes, a los matemáticos les gusta encontrar patrones para facilitar su trabajo. Ya que la división larga puede ser tediosa, echemos un vistazo atrás a la división larga que hicimos en Ejemploy busquemos algunos patrones. Utilizaremos esto como base para lo que se llama división sintética. A continuación se muestra el mismo problema en el formato de división sintética.
La división sintética básicamente solo elimina variables y números repetidos innecesarios. Aquí todos los \(x\) y \(x^2\) se eliminan. así como el \(−x^2\) y \(−4x\) como son opuestos al término anterior.
- La primera fila de la división sintética son los coeficientes del dividendo. El \(−5\) es lo contrario al 5 en el divisor.
- La segunda fila de la división sintética son los números mostrados en rojo en el problema de división.
- La tercera fila de la división sintética son los números mostrados en azul en el problema de división.
Observe que el cociente y el resto se muestran en la tercera fila.
\[\text{Synthetic division only works when the divisor is of the form }x−c. \nonumber \]
En el siguiente ejemplo se explicará el proceso.
Use división sintética para encontrar el cociente y el resto cuando \(2x^3+3x^2+x+8\) se divide por \(x+2\).
Solución
| Escribir el dividendo con poderes decrecientes de \(x\). | |
| Escriba los coeficientes de los términos como la primera fila de la división sintética. |
|
| Escribe el divisor como \(x−c\) y coloca c en la división sintética en la caja del divisor. |
|
| Bajar el primer coeficiente a la tercera fila. | |
| Multiplica ese coeficiente por el divisor y coloca el resultado en la segunda fila debajo del segundo coeficiente. |
|
| Agrega la segunda columna, poniendo el resultado en la tercera fila. | |
| Multiplica ese resultado por el divisor y coloca el resultado en la segunda fila bajo el tercer coeficiente. |
|
| Agrega la tercera columna, poniendo el resultado en la tercera fila. | |
| Multiplica ese resultado por el divisor y coloca el resultado en la tercera fila bajo el tercer coeficiente. |
|
| Agrega la columna final, poniendo el resultado en la tercera fila. | |
| El cociente es \(2x^2−1x+3\) y el resto es 2. |
La división está completa. Los números de la tercera fila nos dan el resultado. Los \(2\space\space\space−1\space\space\space3\) son los coeficientes del cociente. El cociente es \(2x^2−1x+3\). El 2 de la caja de la tercera fila es el resto.
Comprobar:
\(\begin{align} (\text{quotient})(\text{divisor}) + \text{remainder} &= \text{dividend} \nonumber\\ (2x^2−1x+3)(x+2)+2 &\overset{?}{=} 2x^3+3x^2+x+8 \nonumber\\ 2x^3−x^2+3x+4x^2−2x+6+2 &\overset{?}{=} 2x^3+3x^2+x+8 \nonumber\\ 2x^3+3x^2+x+8 &= 2x^3+3x^2+x+8\checkmark \nonumber \end{align} \)
Use división sintética para encontrar el cociente y el resto cuando \(3x^3+10x^2+6x−2\) se divide por \(x+2\).
- Responder
-
\(3x^2+4x−2;\space 2\)
Use división sintética para encontrar el cociente y el resto cuando \(4x^3+5x^2−5x+3\) se divide por \(x+2\).
- Responder
-
\(4x^2−3x+1; 1\)
En el siguiente ejemplo, haremos todos los pasos juntos.
Use división sintética para encontrar el cociente y el resto cuando \(x^4−16x^2+3x+12\) se divide por \(x+4\).
Solución
El polinomio \(x^4−16x^2+3x+12\) tiene su término en orden con grado descendente pero notamos que no hay \(x^3\) término. Agregaremos un 0 como marcador de posición para el \(x^3\) término. En \(x−c\) forma, el divisor es \(x−(−4)\).
Dividimos un \(4^{\text{th}}\) polinomio de \(1^{\text{st}}\) grado por un polinomio de grado por lo que el cociente será un polinomio de \(3^{\text{rd}}\) grado.
Al leer desde la tercera fila, el cociente tiene los coeficientes \(1\space\space\space−4\space\space\space0\space\space\space3\), que es \(x^3−4x^2+3\). El resto
es 0.
Use división sintética para encontrar el cociente y el resto cuando \(x^4−16x^2+5x+20\) se divide por \(x+4\).
- Responder
-
\(x^3−4x^2+5;\space 0\)
Use división sintética para encontrar el cociente y el resto cuando \(x^4−9x^2+2x+6\) se divide por \(x+3\).
- Responder
-
\(x^3−3x^2+2;\space 0\)
Dividir funciones polinómicas
Así como los polinomios se pueden dividir, las funciones polinómicas también se pueden dividir.
Para funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), donde \(g(x)\neq 0\),
\[\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} \nonumber\]
Para funciones \(f(x)=x^2−5x−14\) y \(g(x)=x+2\), encontrar:
- \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\)
- \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4)\).
Solución
ⓐ
\(\begin{array} {ll} {\text{Substitute for }f(x)\text{ and }g(x).} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{x^2−5x−14}{x+2}} \\[5pt] {\text{Divide the polynomials.}} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−7} \end{array} \)
ⓑ En parte ⓐ nos encontramos \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\) y ahora se nos pide encontrar \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4)\).
\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−7} \\[5pt] {\text{To find }\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4), \text{ substitute }x=−4.} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4)=−4−7} \\[5pt] {} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4)=−11} \end{array}\)
Para funciones \(f(x)=x^2−5x−24\) y \(g(x)=x+3\), encontrar:
- \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\)
- \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−3)\).
- Contesta a
-
\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−8\)
- Respuesta b
-
\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−3)=−11\)
Para funciones \(f(x)=x2−5x−36\) y \(g(x)=x+4\), encontrar:
- \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\)
- \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−5)\).
- Contesta a
-
\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−9\)
- Respuesta b
-
\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−9\)
Utilice el teorema del resto y del factor
Veamos los problemas de división que acabamos de trabajar que terminaron con un resto. Se resumen en el siguiente gráfico. Si tomamos el dividendo de cada problema de división y lo usamos para definir una función, obtenemos las funciones que se muestran en el gráfico. Cuando el divisor se escribe como \(x−c\), el valor de la función en \(c\), \(f(c)\), es el mismo que el resto del problema de división.
| Dividendo | Director \(x−c\) | Resto | Función | \(f(c)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x^4−x^2+5x−6\) | \ (x−c\)” data-valign="top">\(x−(−2)\) | \(−4\) | \(f(x)=x^4−x^2+5x−6\) | \ (f (c)\)” data-valign="top">\(−4\) |
| \(3x^3−2x^2−10x+8\) | \ (x−c\)” data-valign="top">\(x−2\) | 4 | \(f(x)=3x^3−2x^2−10x+8\) | \ (f (c)\)” data-valign="top">4 |
| \(x^4−16x^2+3x+15\) | \ (x−c\)” data-valign="top">\(x−(−4)\) | 3 | \(f(x)=x^4−16x^2+3x+15\) | \ (f (c)\)” data-valign="top">3 |
Para ver esto de manera más general, nos damos cuenta de que podemos comprobar un problema de división multiplicando el cociente por el divisor y sumar el resto. En notación de función podríamos decir, para obtener el dividendo \(f(x)\), multiplicamos el cociente, \(q(x)\) por el divisor, \(x−c\), y sumamos el resto, \(r\).
| Si evaluamos esto en \(c\), obtenemos: | |
Esto nos lleva al Teorema del Resto.
Si la función polinómica \(f(x)\) se divide por \(x−c\), entonces el resto es \(f(c)\).
Utilice el teorema del resto para encontrar el resto cuando \(f(x)=x^3+3x+19\) se divide por \(x+2\).
Solución
Para utilizar el Teorema del Resto, debemos utilizar el divisor en la \(x−c\) forma. Podemos escribir el divisor \(x+2\) como \(x−(−2)\). Entonces, lo nuestro \(c\) es \(−2\).
Para encontrar el resto, evaluamos \(f(c)\) cuál es \(f(−2)\).
| A evaluar \(f(−2)\), sustituir \(x=−2\). | |
| Simplificar. | |
| El resto es 5 cuando \(f(x)=x^3+3x+19\) se divide por \(x+2\). | |
| Consultar: Use división sintética para verificar. |
|
| El resto es 5. |
Utilice el teorema del resto para encontrar el resto cuando \(f(x)=x^3+4x+15\) se divide por \(x+2\).
- Responder
-
\(−1\)
Utilice el teorema del resto para encontrar el resto cuando \(f(x)=x^3−7x+12\) se divide por \(x+3\).
- Responder
-
\(6\)
Cuando dividimos \(8a^3+27\) por \(2a+3\) en Ejemplo el resultado fue \(4a^2−6a+9\). Para comprobar nuestro trabajo, nos multiplicamos \(4a2−6a+9\) por \(2a+3\) conseguir \(8a^3+27\).
\[(4a^2−6a+9)(2a+3)=8a^3+27 \nonumber \]
Escrito de esta manera, podemos ver eso \(4a^2−6a+9\) y \(2a+3\) son factores de \(8a^3+27\). Cuando hicimos la división, el resto era cero.
Siempre que un divisor \(x−c\),, divide una función polinómica, \(f(x)\), y resultando en un resto de cero, decimos que \(x−c\) es un factor de \(f(x)\).
Lo contrario también es cierto. Si \(x−c\) es un factor de \(f(x)\) entonces \(x−c\) dividirá la función polinómica resultando en un resto de cero.
Esto lo expondremos en el Teorema del Factor.
Para cualquier función polinómica \(f(x)\),
- si \(x−c\) es un factor de \(f(x)\), entonces \(f(c)=0\)
- si \(f(c)=0\), entonces \(x−c\) es un factor de \(f(x)\)
Utilice el teorema del resto para determinar si \(x−4\) es un factor de \(f(x)=x^3−64\).
Solución
El Teorema del Factor nos dice que \(x−4\) es un factor de \(f(x)=x^3−64\) si \(f(4)=0\).
\(\begin{array} {ll} {} &{f(x)=x^3−64} \\[5pt] {\text{To evaluate }f(4) \text{ substitute } x=4.} &{f(4)=4^3−64} \\[5pt] {\text{Simplify.}} &{f(4)=64−64} \\[5pt]{\text{Subtract.}} &{f(4)=0} \end{array}\)
Dado que \(f(4)=0, x−4\) es un factor de \(f(x)=x^3−64\).
Utilice el Teorema del Factor para determinar si \(x−5\) es un factor de \(f(x)=x^3−125\).
- Responder
-
sí
Utilice el Teorema del Factor para determinar si \(x−6\) es un factor de \(f(x)=x^3−216\).
- Responder
-
sí
Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con polinomios dividiendo.
- Dividiendo un polinomio por un binomio
- División Sintética y Teorema de Resto
Conceptos Clave
- División de un polinomio por un monomio
- Para dividir un polinomio por un monomio, divida cada término del polinomio por el monomio.
- División de Funciones Polinómicas
- Para funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), donde \(g(x)\neq 0\),
\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\)
- Para funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), donde \(g(x)\neq 0\),
- Teorema del resto
- Si la función polinómica \(f(x)\) se divide por \(x−c\), entonces el resto es \(f(c)\).
- Teorema del Factor: Para cualquier función polinómica \(f(x)\),
- si \(x−c\) es un factor de \(f(x)\), entonces \(f(c)=0\)
- si \(f(c)=0\), entonces \(x−c\) es un factor de \(f(x)\)