21: Campos
- Última actualización
- 30 oct 2022
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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Es natural preguntarse si algún campoF está contenido o no en un campo más grande. Pensamos en los números racionales, que residen dentro de los números reales, mientras que a su vez, los números reales viven dentro de los números complejos. También podemos estudiar los campos entreQ yR e indagar en cuanto a la naturaleza de estos campos.
Más específicamente si nos dan un campoF y un polinomiop(x)∈F[x], podemos preguntar si podemos o no encontrar un campo queE contengaF tal quep(x) facte en factores lineales sobreE[x]. Por ejemplo, si consideramos el polinomio
p(x)=x4−5x2+6
enQ[x], entoncesp(x) factores como(x2−2)(x2−3). Sin embargo, ambos factores son irreducibles enQ[x]. Si deseamos encontrar un cero dep(x), debemos ir a un campo más grande. Ciertamente funcionará el campo de los números reales, ya que
p(x)=(x−√2)(x+√2)(x−√3)(x+√3).
Es posible encontrar un campo más pequeño en el quep(x) tenga un cero, a saber
Q(√2)={a+b√2:a,b∈Q}.
Deseamos poder computar y estudiar dichos campos para polinomios arbitrarios sobre un campoF.
- 21.3: Construcciones Geométricas
- En la antigua Grecia, se planteaban tres problemas clásicos. Estos problemas son de naturaleza geométrica e involucran construcciones rectas y brújula a partir de lo que ahora es geometría de secundaria; es decir, se nos permite usar solo una recta y brújula para resolverlos.
