9.6: Pruebas de Ratio y Raíz

Objetivos de aprendizaje

• Utilice la prueba de relación para determinar la convergencia absoluta de una serie.
• Utilice la prueba raíz para determinar la convergencia absoluta de una serie.
• Describir una estrategia para probar la convergencia de una serie dada.

En esta sección, probamos las dos últimas pruebas de convergencia de series: la prueba de relación y la prueba raíz. Estas pruebas son particularmente agradables porque no requieren que encontremos una serie comparable. La prueba de ratio será especialmente útil en la discusión de series de poder en el siguiente capítulo. A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia única funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia usar para una serie determinada.

Prueba de relación

Considera una serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\). De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que no\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\) es una condición suficiente para que la serie converja. No sólo necesitamos\( a_n→0\), sino que necesitamos lo suficientemente\( a_n→0\) rápido. Por ejemplo, considere la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) y la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}\). Eso lo sabemos\( \frac{1}{n}→0\) y\( \frac{1}{n^2}→0\). Sin embargo, sólo la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^2}\) converge. La serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) diverge porque los términos en la secuencia\( \left\{\frac{1}{n}\right\}\) no se acercan a cero lo suficientemente rápido como\( n→∞\). Aquí presentamos la prueba de ratio, que proporciona una manera de medir qué tan rápido los términos de una serie se acercan a cero.

Prueba de relación

\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\)Déjese ser una serie con términos no nulos. Let

\[ρ=\lim_{n→∞} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \nonumber \]

1. Si\( 0≤ρ<1,\) entonces\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge absolutamente.
2. Si\( ρ>1\) o\( ρ=∞\), entonces\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge.
3. Si\( ρ=1,\) la prueba no proporciona ninguna información.

Prueba

\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\)Déjese ser una serie con términos no nulos.

Comenzamos con la prueba de la parte i. en este caso,\( ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣<1.\) ya que\( 0≤ρ<1\), existe\( R\) tal que\( 0≤ρ<R<1\). Vamos\( ε=R−ρ>0\). Por la definición de límite de una secuencia, existe algún número entero\( N\) tal que

\[\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε,\;\text{for all}\; n≥N. \nonumber \]

Por lo tanto,

\[\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<ρ+ε=R, \;\text{for all}\; n≥N \nonumber \]

y, por lo tanto,

\( |a_{N+1}|<R|a_N|\)

\( ∣a_{N+2}∣<R∣a_{N+1}∣<R^2∣a_N∣\)

\( ∣a_{N+3}∣<R∣a_{N+2}∣<R^2∣a_{N+1}∣<R^3∣a_N∣\)

\( ∣a_{N+4}∣<R∣a_{N+3}∣<R^2∣a_{N+2}∣<R^3∣a_{N+1}∣<R^4∣a_N∣\)

\( ⋮.\)

Desde\( R<1,\) la serie geométrica

\[R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber \]

converge. Dadas las desigualdades anteriores, podemos aplicar la prueba de comparación y concluir que la serie

\[|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+|a_{N+4}|+⋯ \nonumber \]

converge. Por lo tanto, desde

\[\sum_{n=1}^∞|a_n|=\sum_{n=1}^N|a_n|+\sum_{n=N+1}^∞|a_n| \nonumber \]

donde\(\displaystyle \sum_{n=1}^N|a_n|\) es una suma finita y\(\displaystyle \sum_{n=N+1}^∞|a_n|\) converge, concluimos que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) converge.

Para la parte ii.

\[ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1. \nonumber \]

Ya que\( ρ>1,\) existe\( R\) tal que\( ρ>R>1\). Vamos\( ε=ρ−R>0\). Por la definición del límite de una secuencia, existe un entero\( N\) tal que

\[\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε, \;\text{for all}\; n≥N. \nonumber \]

Por lo tanto,

\[R=ρ−ε<\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, \;\text{for all}\; n≥N, \nonumber \]

y, por lo tanto,

\( |a_{N+1}|>R|a_N|\)

\( ∣a_{N+2}∣>R∣a_{N+1}∣>R^2∣a_N∣\)

\( ∣a_{N+3}∣>R∣a_{N+2}∣>R^2∣a_{N+1}∣>R^3∣a_N∣\)

\( ∣a_{N+4}∣>R∣a_{N+3}∣>R^2∣a_{N+2}∣>R^3∣a_{N+1}∣>R^4∣a_N∣.\)

Desde\( R>1,\) la serie geométrica

\[R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber \]

diverge. Aplicando la prueba de comparación, concluimos que la serie

\[|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+⋯ \nonumber \]

diverge, y por lo tanto la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) diverge.

Para la parte iii. demostramos que la prueba no proporciona ninguna información si\( ρ=1\) al considerar el\( p−series\)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\). Para cualquier número real\( p\),

\[ρ=\lim_{n→∞}\frac{1/(n+1)^p}{1/n^p}=\lim_{n→∞}\frac{n^p}{(n+1)^p}=1. \nonumber \]

Sin embargo, sabemos que si\( p≤1,\) la serie p\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\) diverge, mientras que\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\) converge si\( p>1\).

□

La prueba de relación es particularmente útil para series cuyos términos contienen factoriales o exponenciales, donde la relación de términos simplifica la expresión. La prueba de relación es conveniente porque no requiere que encontremos una serie comparativa. El inconveniente es que la prueba a veces no proporciona ninguna información con respecto a la convergencia.

Ejemplo\( \PageIndex{1}\): Using the Ratio Test

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de relación para determinar si la serie converge o diverge.

1. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{n!}\)
2. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{n!} \)
3. \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n(n!)^2}{(2n)!}\)

Solución

a. A partir de la prueba de ratio, podemos ver que

\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{2^n}. \nonumber \]

Desde\( (n+1)!=(n+1)⋅n!,\)

\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{2}{n+1}=0. \nonumber \]

Dado que\( ρ<1,\) la serie converge.

b. Podemos ver que

\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{n^n}=\lim_{n→∞}(\frac{n+1}{n})^n=\lim_{n→∞}(1+\frac{1}{n})^n=e. \nonumber \]

Dado que\( ρ>1,\) la serie diverge.

c. Desde

\[ ∣\frac{(−1)^{n+1}((n+1)!)^2/(2(n+1))!}{(−1)^n(n!)^2/(2n)!}∣=\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}⋅\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \nonumber \]

vemos que

\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{1}{4}. \nonumber \]

Ya que\( ρ<1\), la serie converge.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Utilice la prueba de relación para determinar si la serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^3}{3^n}\) converge o diverge.

Pista

Evaluar\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}⋅\frac{3^n}{n^3}.\)

Contestar

La serie converge.

Prueba de Raíz

El enfoque de la prueba raíz es similar al de la prueba de relación. Considera una serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) tal que\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}=ρ\) para algún número real\( ρ\). Entonces para\( N\) suficientemente grande,\( ∣a_N∣≈ρN.\) Por lo tanto, podemos aproximarnos\(\displaystyle \sum_{n=N}^∞|a_n|\) por escrito

\[∣a_N∣+∣a_{N+1}∣+∣a_{N+2}∣+⋯≈ρ^N+ρ^{N+1}+ρ^{N+2}+⋯. \nonumber \]

La expresión en el lado derecho es una serie geométrica. Al igual que en la prueba de relación, la serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge absolutamente si\( 0≤ρ<1\) y la serie diverge si\( ρ≥1\). Si\( ρ=1\), la prueba no proporciona ninguna información. Por ejemplo, para cualquier serie p\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}\), vemos que

\[ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{∣\frac{1}{n^p}∣}=\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}} \nonumber \].

Para evaluar este límite, utilizamos la función de logaritmo natural. Al hacerlo, vemos que

\( \ln ρ=\ln(\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}})=\lim_{n→∞}\ln(\frac{1}{n})^{p/n}=\lim_{n→∞}\frac{p}{n}⋅\ln(\frac{1}{n})=\lim_{n→∞}\frac{p\ln(1/n)}{n}.\)

Utilizando la regla de L'Hôpital, se deduce eso\( \ln ρ=0\), y por lo tanto\( ρ=1\) para todos\( p\). No obstante, sabemos que la serie p sólo converge si\( p>1\) y diverge si\( p<1\).

Prueba de Raíz

Considera la serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\). Let

\[ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|} \nonumber \].

1. Si\( 0≤ρ<1,\) entonces\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge absolutamente.
2. Si\( ρ>1\) o\( ρ=∞\), entonces\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge.
3. Si\( ρ=1\), la prueba no proporciona ninguna información.

La prueba raíz es útil para series cuyos términos involucran exponenciales. En particular, para una serie cuyos términos\( a_n\) satisfacen\( |a_n|=(b_n)^n\), entonces\( \sqrt[n]{|a_n|}=b_n\) y sólo necesitamos evaluar\(\displaystyle \lim_{n→∞}b_n\).

Ejemplo\( \PageIndex{2}\): Using the Root Test

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba raíz para determinar si la serie converge o diverge.

1. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(n^2+3n)^n}{(4n^2+5)^n}\)
2. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{(\ln(n))^n}\)

Solución

a. Para aplicar la prueba raíz, calculamos

\[ ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{(n^2+3n)^n/(4n^2+5)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n^2+3n}{4n^2+5}=\frac{1}{4}. \nonumber \]

Ya que\( ρ<1,\) la serie converge absolutamente.

b. tenemos

\[ ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{n^n/(\ln n)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n}{\ln n}=∞\quad \text{by L’Hôpital’s rule.} \nonumber \]

Ya que\( ρ=∞\), la serie diverge.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Utilice la prueba raíz para determinar si la serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n^n\) converge o diverge.

Pista

Evaluar\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{\frac{1}{n^n}}\).

Contestar

La serie converge.

Elección de una prueba de convergencia

En este punto, tenemos una larga lista de pruebas de convergencia. Sin embargo, no todas las pruebas se pueden utilizar para todas las series. Cuando se le da una serie, debemos determinar qué prueba es la mejor para usar. Aquí hay una estrategia para encontrar la mejor prueba para aplicar.

Estrategia de resolución de problemas: elegir una prueba de convergencia para una serie

Considerar una serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n.\) En los pasos a continuación, esbozamos una estrategia para determinar si la serie converge.

1. ¿Es\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) una serie familiar? Por ejemplo, ¿es la serie armónica (que diverge) o la serie armónica alterna (la que converge)? ¿Es una serie p o una serie geométrica? Si es así, verifique la potencia\( p\) o la relación\( r\) para determinar si la serie converge.
2. ¿Es una serie alterna? ¿Nos interesa la convergencia absoluta o solo la convergencia? Si solo nos interesa si la serie converge, aplique la prueba de series alternas. Si nos interesa la convergencia absoluta, proceder al paso\( 3\), considerando la serie de valores absolutos\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|.\)
3. ¿La serie es similar a una serie p o serie geométrica? Si es así, pruebe la prueba de comparación o prueba de comparación de límites.
4. ¿Los términos de la serie contienen un factorial o poder? Si los términos son poderes tales que\( a_n=(b_n)^n,\) prueben primero la prueba raíz. De lo contrario, pruebe primero la prueba de relación.
5. Utilice la prueba de divergencia. Si esta prueba no proporciona ninguna información, pruebe la prueba integral.

Visite este sitio web para obtener más información sobre series de pruebas para convergencia, además de información general sobre secuencias y series.

Ejemplo\( \PageIndex{3}\): Using Convergence Tests

Para cada una de las siguientes series, determinar qué prueba de convergencia es la mejor para usar y explicar por qué. Después determina si la serie converge o diverge. Si la serie es una serie alterna, determine si converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

1. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}\)
2. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}(3n+1)}{n!}\)
3. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{e^n}{n^3}\)
4. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{3^n}{(n+1)^n}\)

Solución

a. Paso 1. La serie no es una serie p o serie geométrica.

Paso 2. La serie no es alternante.

Paso 3. Para valores grandes de\( n\), aproximamos la serie por la expresión

\( \frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}≈\frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}.\)

Por lo tanto, parece razonable aplicar la prueba de comparación o prueba de comparación límite usando la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n\). Usando la prueba de comparación de límites, vemos que

\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n^2+2n)/(n^3+3n^2+1)}{1/n}=\lim_{n→∞}\frac{n^3+2n^2}{n^3+3n^2+1}=1.\)

Desde la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n\)

diverge, esta serie diverge también.

b. Paso 1.La serie no es una serie familiar.

Paso 2. La serie es alternante. Ya que estamos interesados en la convergencia absoluta, consideremos la serie

\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{3n}{(n+1)!}.\)

Paso 3. La serie no es similar a una serie p o serie geométrica.

Paso 4. Ya que cada término contiene un factorial, aplicar la prueba de ratio. Vemos que

\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(3(n+1))/(n+1)!}{(3n+1)/n!}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{3n+1}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)(3n+1)}=0.\)

Por lo tanto, esta serie converge, y concluimos que la serie original converge absolutamente, y así converge.

c. Paso 1. La serie no es una serie familiar.

Paso 2. No es una serie alterna.

Paso 3. No hay series obvias con las que comparar esta serie.

Paso 4. No hay factorial. Hay un poder, pero no es una situación ideal para la prueba raíz.

Paso 5. Para aplicar la prueba de divergencia, calculamos que

\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{e^n}{n^3}=∞.\)

Por lo tanto, mediante la prueba de divergencia, la serie diverge.

d. Paso 1. Esta serie no es una serie familiar.

Paso 2. No es una serie alterna.

Paso 3. No hay series obvias con las que comparar esta serie.

Paso 4. Dado que cada término es una potencia de n, podemos aplicar la prueba raíz. Desde

\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{(\frac{3}{n+1})^n}=\lim_{n→∞}\frac{3}{n+1}=0,\)

por la prueba raíz, concluimos que la serie converge.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Para la serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{3^n+n}\), determinar qué prueba de convergencia es la mejor para usar y explicar por qué.

Pista

La serie es similar a la serie geométrica\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{2}{3}\right)^n\).

Contestar

La prueba de comparación porque\( \dfrac{2^n}{3^n+n}<\dfrac{2^n}{3^n}\) para todos los enteros positivos\( n\). También se podría utilizar la prueba de comparación de límites.

En Tabla, resumimos las pruebas de convergencia y cuándo se puede aplicar cada una. Tenga en cuenta que si bien la prueba de comparación, la prueba de comparación de límites y la prueba integral requieren que la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) tenga términos no negativos, si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) tiene términos negativos, estas pruebas pueden aplicarse\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) para probar la convergencia absoluta.

Resumen de Pruebas de Convergencia

Serie o prueba	Conclusiones	Comentarios
Prueba de divergencia Para cualquier serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\), evalúe\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\).	Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\), la prueba no es concluyente.	Esta prueba no puede probar la convergencia de una serie.
	Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0\), la serie diverge.
Serie Geométrica \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}ar^{n−1}\)	Si\( |r|<1\), la serie converge a\( a/(1−r)\).	Cualquier serie geométrica puede ser reindexada para ser escrita en la forma\( a+ar+ar^2+⋯\), donde\( a\) está el término inicial y r es la relación.
	Si\( |r|≥1,\) la serie diverge.
Serie P \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\)	Si\( p>1\), la serie converge.	Para\( p=1\), tenemos la serie armónica\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n\).
	Si\( p≤1\), la serie diverge.
Prueba de comparación Porque\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n \) con términos no negativos, compare con una serie conocida\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\).	Si\( a_n≤b_n\) por todos\( n≥N\) y\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) converge, entonces\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge.	Normalmente se utiliza para una serie similar a una serie geométrica o\( p\) -serie. A veces puede ser difícil encontrar una serie apropiada.
	Si\( a_n≥b_n\) para todos\( n≥N\) y\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) diverge, entonces\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge.
Prueba de comparación de límites Porque\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) con términos positivos, compare con una serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) evaluando \( L=\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}.\)	Si\( L\) es un número real y\( L≠0\), entonces\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) y\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) ambos convergen o ambos divergen.	Normalmente se utiliza para una serie similar a una serie geométrica o\( p\) -serie. A menudo es más fácil de aplicar que la prueba de comparación.
	Si\( L=0\) y\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) converge, entonces\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge.
	Si\( L=∞\) y\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) diverge, entonces\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge.
Prueba Integral Si existe una función positiva, continua, decreciente\( f\) tal que\( a_n=f(n)\) para todos\( n≥N\), evalúe\( \displaystyle ∫^∞_Nf(x)dx.\)	\( ∫^∞_Nf(x)dx\)y\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) ambos convergen o ambos divergen.	Limitado a aquellas series para las que se pueda integrar fácilmente la función f correspondiente.
Serie alterna \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n\)o\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n\)	Si\( b_{n+1}≤b_n\) para todos\( n≥1\) y\( b_n→0\), entonces la serie converge.	Solo se aplica a series alternas.
Prueba de relación Para cualquier serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) con términos distintos de cero, vamos\(\displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)	Si\( 0≤ρ<1\), la serie converge absolutamente.	A menudo se usa para series que involucran factoriales o exponenciales.
	Si\( ρ>1\) o\( ρ=∞\), la serie diverge.
	Si\( ρ=1\), la prueba no es concluyente.
Prueba de Raíz Para cualquier serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\), vamos\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}\).	Si\( 0≤ρ<1\), la serie converge absolutamente.	A menudo se utiliza para series donde\( |a_n|=(b_n)^n\).
	Si\( ρ>1\) o\( ρ=∞\), la serie diverge.
	Si\( ρ=1\), la prueba no es concluyente.

Serie que converge a\( π\) and \( 1/π\)

Existen decenas de series que convergen para\( π\) or an algebraic expression containing \( π\). Here we look at several examples and compare their rates of convergence. By rate of convergence, we mean the number of terms necessary for a partial sum to be within a certain amount of the actual value. The series representations of \( π\) in the first two examples can be explained using Maclaurin series, which are discussed in the next chapter. The third example relies on material beyond the scope of this text.

1. La serie

\[π=4\sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{2n−1}=4−\frac{4}{3}+\frac{4}{5}−\frac{4}{7}+\frac{4}{9}−⋯ \nonumber \]

fue descubierto por Gregory y Leibniz a finales de\( 1600s\). This result follows from the Maclaurin series for \( f(x)=\tan^{−1}x\). We will discuss this series in the next chapter.

a. Demostrar que esta serie converge.

b. Evaluar las sumas parciales\( S_n\) for \( n=10,20,50,100.\)

c. Utilice la estimación del resto para series alternas para obtener un límite en el error\( R_n\).

d. ¿Cuál es el valor más pequeño de\( N\) that guarantees \( |R_N|<0.01\)? Evaluate \( S_N\).

2. La serie

\[π=6\sum^∞_{n=0}\frac{(2n)!}{2^{4n+1}(n!)^2(2n+1)}=6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2⋅3}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1⋅3}{2⋅4⋅5}⋅\left(\frac{1}{2}\right)^5+\frac{1⋅3⋅5}{2⋅4⋅6⋅7}\left(\frac{1}{2}\right)^7+⋯\right) \nonumber \]

ha sido atribuido a Newton a finales de\( 1600s\). The proof of this result uses the Maclaurin series for \( f(x)=\sin^{−1}x\).

a. Demostrar que la serie converge.

b. Evaluar las sumas parciales\( S_n\) for \( n=5,10,20.\)

c. Comparar\(S_n\) con\( π\) for \( n=5,10,20\) and discuss the number of correct decimal places.

3. La serie

\[\frac{1}{π}=\frac{\sqrt{8}}{9801}\sum_{n=0}^∞\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4396^{4n}} \nonumber \]

fue descubierto por Ramanujan a principios de\( 1900s\). William Gosper, Jr., used this series to calculate \( π\) to an accuracy of more than \( 17\) million digits in the \( mid-1980s\). At the time, that was a world record. Since that time, this series and others by Ramanujan have led mathematicians to find many other series representations for \( π\) and \( 1/π\).

a. Demostrar que esta serie converge.

b. Evaluar el primer término de esta serie. Compare este número con el valor de\( π\) from a calculating utility. To how many decimal places do these two numbers agree? What if we add the first two terms in the series?

c. Investigar la vida de Srinivasa Ramanujan\( (1887–1920)\) and write a brief summary. Ramanujan is one of the most fascinating stories in the history of mathematics. He was basically self-taught, with no formal training in mathematics, yet he contributed in highly original ways to many advanced areas of mathematics.

Conceptos clave

• Para la prueba de ratio, consideramos\[ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣. \nonumber \] If\( ρ<1\), la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge absolutamente. Si\( ρ>1\), la serie diverge. Si\( ρ=1\), la prueba no proporciona ninguna información. Esta prueba es útil para series cuyos términos involucran factoriales.
• Para la prueba raíz, consideramos\[ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}. \nonumber \] If\( ρ<1\), la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge absolutamente. Si\( ρ>1\), la serie diverge. Si\( ρ=1\), la prueba no proporciona ninguna información. La prueba raíz es útil para series cuyos términos involucran poderes.
• Para una serie que es similar a una serie geométrica o serie p, considere una de las pruebas de comparación.

Glosario

prueba de relación

para una serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) con términos distintos de cero, let\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|\); if\( 0≤ρ<1\), la serie converge absolutamente; si\( ρ>1\), la serie diverge; si\( ρ=1\), la prueba no es concluyente

prueba de raíz

para una serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n,\) let\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}\); si\( 0≤ρ<1\), la serie converge absolutamente; si\( ρ>1\), la serie diverge; si\( ρ=1\), la prueba no es concluyente