9.6: Pruebas de Ratio y Raíz
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Utilice la prueba de relación para determinar la convergencia absoluta de una serie.
- Utilice la prueba raíz para determinar la convergencia absoluta de una serie.
- Describir una estrategia para probar la convergencia de una serie dada.
En esta sección, probamos las dos últimas pruebas de convergencia de series: la prueba de relación y la prueba raíz. Estas pruebas son particularmente agradables porque no requieren que encontremos una serie comparable. La prueba de ratio será especialmente útil en la discusión de series de poder en el siguiente capítulo. A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia única funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia usar para una serie determinada.
Prueba de relación
Considera una serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n. De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que no\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0 es una condición suficiente para que la serie converja. No sólo necesitamos a_n→0, sino que necesitamos lo suficientemente a_n→0 rápido. Por ejemplo, considere la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n} y la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}. Eso lo sabemos \frac{1}{n}→0 y \frac{1}{n^2}→0. Sin embargo, sólo la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^2} converge. La serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n} diverge porque los términos en la secuencia \left\{\frac{1}{n}\right\} no se acercan a cero lo suficientemente rápido como n→∞. Aquí presentamos la prueba de ratio, que proporciona una manera de medir qué tan rápido los términos de una serie se acercan a cero.
\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_nDéjese ser una serie con términos no nulos. Let
ρ=\lim_{n→∞} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \nonumber
- Si 0≤ρ<1, entonces\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge absolutamente.
- Si ρ>1 o ρ=∞, entonces\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n diverge.
- Si ρ=1, la prueba no proporciona ninguna información.
\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nDéjese ser una serie con términos no nulos.
Comenzamos con la prueba de la parte i. en este caso, ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣<1. ya que 0≤ρ<1, existe R tal que 0≤ρ<R<1. Vamos ε=R−ρ>0. Por la definición de límite de una secuencia, existe algún número entero N tal que
\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε,\;\text{for all}\; n≥N. \nonumber
Por lo tanto,
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<ρ+ε=R, \;\text{for all}\; n≥N \nonumber
y, por lo tanto,
|a_{N+1}|<R|a_N|
∣a_{N+2}∣<R∣a_{N+1}∣<R^2∣a_N∣
∣a_{N+3}∣<R∣a_{N+2}∣<R^2∣a_{N+1}∣<R^3∣a_N∣
∣a_{N+4}∣<R∣a_{N+3}∣<R^2∣a_{N+2}∣<R^3∣a_{N+1}∣<R^4∣a_N∣
⋮.
Desde R<1, la serie geométrica
R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber
converge. Dadas las desigualdades anteriores, podemos aplicar la prueba de comparación y concluir que la serie
|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+|a_{N+4}|+⋯ \nonumber
converge. Por lo tanto, desde
\sum_{n=1}^∞|a_n|=\sum_{n=1}^N|a_n|+\sum_{n=N+1}^∞|a_n| \nonumber
donde\displaystyle \sum_{n=1}^N|a_n| es una suma finita y\displaystyle \sum_{n=N+1}^∞|a_n| converge, concluimos que\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n| converge.
Para la parte ii.
ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1. \nonumber
Ya que ρ>1, existe R tal que ρ>R>1. Vamos ε=ρ−R>0. Por la definición del límite de una secuencia, existe un entero N tal que
\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε, \;\text{for all}\; n≥N. \nonumber
Por lo tanto,
R=ρ−ε<\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, \;\text{for all}\; n≥N, \nonumber
y, por lo tanto,
|a_{N+1}|>R|a_N|
∣a_{N+2}∣>R∣a_{N+1}∣>R^2∣a_N∣
∣a_{N+3}∣>R∣a_{N+2}∣>R^2∣a_{N+1}∣>R^3∣a_N∣
∣a_{N+4}∣>R∣a_{N+3}∣>R^2∣a_{N+2}∣>R^3∣a_{N+1}∣>R^4∣a_N∣.
Desde R>1, la serie geométrica
R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber
diverge. Aplicando la prueba de comparación, concluimos que la serie
|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+⋯ \nonumber
diverge, y por lo tanto la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n| diverge.
Para la parte iii. demostramos que la prueba no proporciona ninguna información si ρ=1 al considerar el p−series\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}. Para cualquier número real p,
ρ=\lim_{n→∞}\frac{1/(n+1)^p}{1/n^p}=\lim_{n→∞}\frac{n^p}{(n+1)^p}=1. \nonumber
Sin embargo, sabemos que si p≤1, la serie p\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p} diverge, mientras que\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p} converge si p>1.
□
La prueba de relación es particularmente útil para series cuyos términos contienen factoriales o exponenciales, donde la relación de términos simplifica la expresión. La prueba de relación es conveniente porque no requiere que encontremos una serie comparativa. El inconveniente es que la prueba a veces no proporciona ninguna información con respecto a la convergencia.
Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de relación para determinar si la serie converge o diverge.
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{n!}
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{n!}
- \displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n(n!)^2}{(2n)!}
Solución
a. A partir de la prueba de ratio, podemos ver que
ρ=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{2^n}. \nonumber
Desde (n+1)!=(n+1)⋅n!,
ρ=\lim_{n→∞}\frac{2}{n+1}=0. \nonumber
Dado que ρ<1, la serie converge.
b. Podemos ver que
ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{n^n}=\lim_{n→∞}(\frac{n+1}{n})^n=\lim_{n→∞}(1+\frac{1}{n})^n=e. \nonumber
Dado que ρ>1, la serie diverge.
c. Desde
∣\frac{(−1)^{n+1}((n+1)!)^2/(2(n+1))!}{(−1)^n(n!)^2/(2n)!}∣=\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}⋅\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \nonumber
vemos que
ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{1}{4}. \nonumber
Ya que ρ<1, la serie converge.
Utilice la prueba de relación para determinar si la serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^3}{3^n} converge o diverge.
- Pista
-
Evaluar\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}⋅\frac{3^n}{n^3}.
- Contestar
-
La serie converge.
Prueba de Raíz
El enfoque de la prueba raíz es similar al de la prueba de relación. Considera una serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n tal que\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}=ρ para algún número real ρ. Entonces para N suficientemente grande, ∣a_N∣≈ρN. Por lo tanto, podemos aproximarnos\displaystyle \sum_{n=N}^∞|a_n| por escrito
∣a_N∣+∣a_{N+1}∣+∣a_{N+2}∣+⋯≈ρ^N+ρ^{N+1}+ρ^{N+2}+⋯. \nonumber
La expresión en el lado derecho es una serie geométrica. Al igual que en la prueba de relación, la serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge absolutamente si 0≤ρ<1 y la serie diverge si ρ≥1. Si ρ=1, la prueba no proporciona ninguna información. Por ejemplo, para cualquier serie p\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}, vemos que
ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{∣\frac{1}{n^p}∣}=\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}} \nonumber .
Para evaluar este límite, utilizamos la función de logaritmo natural. Al hacerlo, vemos que
\ln ρ=\ln(\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}})=\lim_{n→∞}\ln(\frac{1}{n})^{p/n}=\lim_{n→∞}\frac{p}{n}⋅\ln(\frac{1}{n})=\lim_{n→∞}\frac{p\ln(1/n)}{n}.
Utilizando la regla de L'Hôpital, se deduce eso \ln ρ=0, y por lo tanto ρ=1 para todos p. No obstante, sabemos que la serie p sólo converge si p>1 y diverge si p<1.
Considera la serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n. Let
ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|} \nonumber .
- Si 0≤ρ<1, entonces\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge absolutamente.
- Si ρ>1 o ρ=∞, entonces\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n diverge.
- Si ρ=1, la prueba no proporciona ninguna información.
La prueba raíz es útil para series cuyos términos involucran exponenciales. En particular, para una serie cuyos términos a_n satisfacen |a_n|=(b_n)^n, entonces \sqrt[n]{|a_n|}=b_n y sólo necesitamos evaluar\displaystyle \lim_{n→∞}b_n.
Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba raíz para determinar si la serie converge o diverge.
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(n^2+3n)^n}{(4n^2+5)^n}
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{(\ln(n))^n}
Solución
a. Para aplicar la prueba raíz, calculamos
ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{(n^2+3n)^n/(4n^2+5)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n^2+3n}{4n^2+5}=\frac{1}{4}. \nonumber
Ya que ρ<1, la serie converge absolutamente.
b. tenemos
ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{n^n/(\ln n)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n}{\ln n}=∞\quad \text{by L’Hôpital’s rule.} \nonumber
Ya que ρ=∞, la serie diverge.
Utilice la prueba raíz para determinar si la serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n^n converge o diverge.
- Pista
-
Evaluar\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{\frac{1}{n^n}}.
- Contestar
-
La serie converge.
Elección de una prueba de convergencia
En este punto, tenemos una larga lista de pruebas de convergencia. Sin embargo, no todas las pruebas se pueden utilizar para todas las series. Cuando se le da una serie, debemos determinar qué prueba es la mejor para usar. Aquí hay una estrategia para encontrar la mejor prueba para aplicar.
Considerar una serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n. En los pasos a continuación, esbozamos una estrategia para determinar si la serie converge.
- ¿Es\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n una serie familiar? Por ejemplo, ¿es la serie armónica (que diverge) o la serie armónica alterna (la que converge)? ¿Es una serie p o una serie geométrica? Si es así, verifique la potencia p o la relación r para determinar si la serie converge.
- ¿Es una serie alterna? ¿Nos interesa la convergencia absoluta o solo la convergencia? Si solo nos interesa si la serie converge, aplique la prueba de series alternas. Si nos interesa la convergencia absoluta, proceder al paso 3, considerando la serie de valores absolutos\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|.
- ¿La serie es similar a una serie p o serie geométrica? Si es así, pruebe la prueba de comparación o prueba de comparación de límites.
- ¿Los términos de la serie contienen un factorial o poder? Si los términos son poderes tales que a_n=(b_n)^n, prueben primero la prueba raíz. De lo contrario, pruebe primero la prueba de relación.
- Utilice la prueba de divergencia. Si esta prueba no proporciona ninguna información, pruebe la prueba integral.
Visite este sitio web para obtener más información sobre series de pruebas para convergencia, además de información general sobre secuencias y series.
Para cada una de las siguientes series, determinar qué prueba de convergencia es la mejor para usar y explicar por qué. Después determina si la serie converge o diverge. Si la serie es una serie alterna, determine si converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}(3n+1)}{n!}
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{e^n}{n^3}
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{3^n}{(n+1)^n}
Solución
a. Paso 1. La serie no es una serie p o serie geométrica.
Paso 2. La serie no es alternante.
Paso 3. Para valores grandes de n, aproximamos la serie por la expresión
\frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}≈\frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}.
Por lo tanto, parece razonable aplicar la prueba de comparación o prueba de comparación límite usando la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n. Usando la prueba de comparación de límites, vemos que
\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n^2+2n)/(n^3+3n^2+1)}{1/n}=\lim_{n→∞}\frac{n^3+2n^2}{n^3+3n^2+1}=1.
Desde la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n
diverge, esta serie diverge también.
b. Paso 1.La serie no es una serie familiar.
Paso 2. La serie es alternante. Ya que estamos interesados en la convergencia absoluta, consideremos la serie
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{3n}{(n+1)!}.
Paso 3. La serie no es similar a una serie p o serie geométrica.
Paso 4. Ya que cada término contiene un factorial, aplicar la prueba de ratio. Vemos que
\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(3(n+1))/(n+1)!}{(3n+1)/n!}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{3n+1}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)(3n+1)}=0.
Por lo tanto, esta serie converge, y concluimos que la serie original converge absolutamente, y así converge.
c. Paso 1. La serie no es una serie familiar.
Paso 2. No es una serie alterna.
Paso 3. No hay series obvias con las que comparar esta serie.
Paso 4. No hay factorial. Hay un poder, pero no es una situación ideal para la prueba raíz.
Paso 5. Para aplicar la prueba de divergencia, calculamos que
\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{e^n}{n^3}=∞.
Por lo tanto, mediante la prueba de divergencia, la serie diverge.
d. Paso 1. Esta serie no es una serie familiar.
Paso 2. No es una serie alterna.
Paso 3. No hay series obvias con las que comparar esta serie.
Paso 4. Dado que cada término es una potencia de n, podemos aplicar la prueba raíz. Desde
\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{(\frac{3}{n+1})^n}=\lim_{n→∞}\frac{3}{n+1}=0,
por la prueba raíz, concluimos que la serie converge.
Para la serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{3^n+n}, determinar qué prueba de convergencia es la mejor para usar y explicar por qué.
- Pista
-
La serie es similar a la serie geométrica\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{2}{3}\right)^n.
- Contestar
-
La prueba de comparación porque \dfrac{2^n}{3^n+n}<\dfrac{2^n}{3^n} para todos los enteros positivos n. También se podría utilizar la prueba de comparación de límites.
En Tabla, resumimos las pruebas de convergencia y cuándo se puede aplicar cada una. Tenga en cuenta que si bien la prueba de comparación, la prueba de comparación de límites y la prueba integral requieren que la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n tenga términos no negativos, si\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n tiene términos negativos, estas pruebas pueden aplicarse\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n| para probar la convergencia absoluta.
Serie o prueba | Conclusiones | Comentarios |
---|---|---|
Prueba de divergencia Para cualquier serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n, evalúe\displaystyle \lim_{n→∞}a_n. |
Si\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0, la prueba no es concluyente. | Esta prueba no puede probar la convergencia de una serie. |
Si\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0, la serie diverge. | ||
Serie Geométrica \displaystyle \sum^∞_{n=1}ar^{n−1} |
Si |r|<1, la serie converge a a/(1−r). | Cualquier serie geométrica puede ser reindexada para ser escrita en la forma a+ar+ar^2+⋯, donde a está el término inicial y r es la relación. |
Si |r|≥1, la serie diverge. | ||
Serie P \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p} |
Si p>1, la serie converge. | Para p=1, tenemos la serie armónica\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n. |
Si p≤1, la serie diverge. | ||
Prueba de comparación Porque\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n con términos no negativos, compare con una serie conocida\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n. |
Si a_n≤b_n por todos n≥N y\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n converge, entonces\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge. | Normalmente se utiliza para una serie similar a una serie geométrica o p -serie. A veces puede ser difícil encontrar una serie apropiada. |
Si a_n≥b_n para todos n≥N y\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n diverge, entonces\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n diverge. | ||
Prueba de comparación de límites Porque\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n con términos positivos, compare con una serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n evaluando L=\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}. |
Si L es un número real y L≠0, entonces\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n y\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n ambos convergen o ambos divergen. | Normalmente se utiliza para una serie similar a una serie geométrica o p -serie. A menudo es más fácil de aplicar que la prueba de comparación. |
Si L=0 y\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n converge, entonces\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge. | ||
Si L=∞ y\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n diverge, entonces\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n diverge. | ||
Prueba Integral Si existe una función positiva, continua, decreciente f tal que a_n=f(n) para todos n≥N, evalúe \displaystyle ∫^∞_Nf(x)dx. |
∫^∞_Nf(x)dxy\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n ambos convergen o ambos divergen. | Limitado a aquellas series para las que se pueda integrar fácilmente la función f correspondiente. |
Serie alterna \displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_no\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n |
Si b_{n+1}≤b_n para todos n≥1 y b_n→0, entonces la serie converge. | Solo se aplica a series alternas. |
Prueba de relación Para cualquier serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n con términos distintos de cero, vamos\displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| |
Si 0≤ρ<1, la serie converge absolutamente. | A menudo se usa para series que involucran factoriales o exponenciales. |
Si ρ>1 o ρ=∞, la serie diverge. | ||
Si ρ=1, la prueba no es concluyente. | ||
Prueba de Raíz Para cualquier serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n, vamos \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}. |
Si 0≤ρ<1, la serie converge absolutamente. | A menudo se utiliza para series donde |a_n|=(b_n)^n. |
Si ρ>1 o ρ=∞, la serie diverge. | ||
Si ρ=1, la prueba no es concluyente. |
Existen decenas de series que convergen para π or an algebraic expression containing π. Here we look at several examples and compare their rates of convergence. By rate of convergence, we mean the number of terms necessary for a partial sum to be within a certain amount of the actual value. The series representations of π in the first two examples can be explained using Maclaurin series, which are discussed in the next chapter. The third example relies on material beyond the scope of this text.
1. La serie
π=4\sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{2n−1}=4−\frac{4}{3}+\frac{4}{5}−\frac{4}{7}+\frac{4}{9}−⋯ \nonumber
fue descubierto por Gregory y Leibniz a finales de 1600s. This result follows from the Maclaurin series for f(x)=\tan^{−1}x. We will discuss this series in the next chapter.
a. Demostrar que esta serie converge.
b. Evaluar las sumas parciales S_n for n=10,20,50,100.
c. Utilice la estimación del resto para series alternas para obtener un límite en el error R_n.
d. ¿Cuál es el valor más pequeño de N that guarantees |R_N|<0.01? Evaluate S_N.
2. La serie
π=6\sum^∞_{n=0}\frac{(2n)!}{2^{4n+1}(n!)^2(2n+1)}=6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2⋅3}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1⋅3}{2⋅4⋅5}⋅\left(\frac{1}{2}\right)^5+\frac{1⋅3⋅5}{2⋅4⋅6⋅7}\left(\frac{1}{2}\right)^7+⋯\right) \nonumber
ha sido atribuido a Newton a finales de 1600s. The proof of this result uses the Maclaurin series for f(x)=\sin^{−1}x.
a. Demostrar que la serie converge.
b. Evaluar las sumas parciales S_n for n=5,10,20.
c. CompararS_n con π for n=5,10,20 and discuss the number of correct decimal places.
3. La serie
\frac{1}{π}=\frac{\sqrt{8}}{9801}\sum_{n=0}^∞\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4396^{4n}} \nonumber
fue descubierto por Ramanujan a principios de 1900s. William Gosper, Jr., used this series to calculate π to an accuracy of more than 17 million digits in the mid-1980s. At the time, that was a world record. Since that time, this series and others by Ramanujan have led mathematicians to find many other series representations for π and 1/π.
a. Demostrar que esta serie converge.
b. Evaluar el primer término de esta serie. Compare este número con el valor de π from a calculating utility. To how many decimal places do these two numbers agree? What if we add the first two terms in the series?
c. Investigar la vida de Srinivasa Ramanujan (1887–1920) and write a brief summary. Ramanujan is one of the most fascinating stories in the history of mathematics. He was basically self-taught, with no formal training in mathematics, yet he contributed in highly original ways to many advanced areas of mathematics.
Conceptos clave
- Para la prueba de ratio, consideramosρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣. \nonumber If ρ<1, la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n converge absolutamente. Si ρ>1, la serie diverge. Si ρ=1, la prueba no proporciona ninguna información. Esta prueba es útil para series cuyos términos involucran factoriales.
- Para la prueba raíz, consideramosρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}. \nonumber If ρ<1, la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n converge absolutamente. Si ρ>1, la serie diverge. Si ρ=1, la prueba no proporciona ninguna información. La prueba raíz es útil para series cuyos términos involucran poderes.
- Para una serie que es similar a una serie geométrica o serie p, considere una de las pruebas de comparación.
Glosario
- prueba de relación
- para una serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n con términos distintos de cero, let \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|; if 0≤ρ<1, la serie converge absolutamente; si ρ>1, la serie diverge; si ρ=1, la prueba no es concluyente
- prueba de raíz
- para una serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n, let \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}; si 0≤ρ<1, la serie converge absolutamente; si ρ>1, la serie diverge; si ρ=1, la prueba no es concluyente