8.6: Serie Power

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una serie de potencia?
• ¿Cuáles son algunos usos importantes de la serie power?
• ¿Cuál es la conexión entre la serie power y la serie Taylor?

Hemos observado en nuestro trabajo con los polinomios de Taylor y la serie Taylor que las funciones polinómicas son las funciones más simples posibles en matemáticas, en parte porque solo requieren suma y multiplicación para evaluar. Desde el punto de vista del cálculo, los polinomios son especialmente agradables: podemos diferenciar o integrar fácilmente cualquier polinomio. A la luz de nuestro trabajo en la Sección 8.5, ahora sabemos que varios no polinomios importantes tienen expansiones similares a polinomios. Por ejemplo, para cualquier número real\(x\text{,}\)

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots\text{.} \nonumber \]

Hay dos escenarios donde\(e^x\) surgen otras series como la de: se nos puede dar una expresión como

\[ 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots \nonumber \]

y buscamos los valores\(x\) para los que tiene sentido la expresión. O podemos estar tratando de encontrar una función desconocida\(f\) que tenga expresión

\[ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k + \cdots\text{,} \nonumber \]

y tratamos de determinar los valores de\(a_0\text{,}\)\(a_1\text{,}\)\(\ldots\text{.}\) las constantes Esta última situación se explora en Vista previa Actividad 8.6.1.

Vista previa de la actividad 8.6.1

En el Capítulo 7 aprendimos algunas de las muchas aplicaciones importantes de las ecuaciones diferenciales, y aprendimos algunos enfoques para resolverlas o analizarlas. Aquí, consideramos un enfoque importante que nos permitirá resolver una mayor variedad de ecuaciones diferenciales.

Consideremos la ecuación diferencial familiar del crecimiento exponencial de la población dada por

\[ y' = ky\text{,}\label{pmR}\tag{8.6.1} \]

donde\(k\) está la constante de proporcionalidad. Si bien podemos resolver esta ecuación diferencial usando métodos que ya hemos aprendido, ahora tomamos un enfoque diferente que se puede aplicar a un conjunto mucho mayor de ecuaciones diferenciales. Para el resto de esta actividad, supongamos que\(k=1\text{.}\) vamos a utilizar nuestro conocimiento de la serie Taylor para encontrar una solución a la ecuación diferencial (8.6.1).

Para ello, suponemos que tenemos una solución\(y=f(x)\) y que\(f(x)\) tiene una serie Taylor que se puede escribir en la forma

\[ y = f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\text{,} \nonumber \]

donde los coeficientes\(a_k\) son indeterminados. Nuestra tarea es encontrar los coeficientes.

1. Supongamos que podemos diferenciar una serie de potencias término por término. Tomando la derivada de\(f(x)\) respecto\(x\) y sustituyendo el resultado en la ecuación diferencial (8.6.1), mostrar que la ecuación
   \[ \sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^{k} \nonumber \]

   deben satisfacerse para\(f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\) que sea una solución de la DE.

2. Dos series son iguales si y solo si tienen los mismos coeficientes en términos de potencia similares. Utilice este hecho para encontrar una relación entre\(a_1\) y\(a_0\text{.}\)
3. Ahora escribe\(a_2\) en términos de\(a_1\text{.}\) Luego escribe\(a_2\) en términos de\(a_0\text{.}\)
4. Escribe\(a_3\) en términos de\(a_2\text{.}\) Luego escribe\(a_3\) en términos de\(a_0\text{.}\)
5. Escribe\(a_4\) en términos de\(a_3\text{.}\) Luego escribe\(a_4\) en términos de\(a_0\text{.}\)
6. Observe que existe un patrón en (b) - (e). Encuentre una fórmula general para\(a_k\) en términos de\(a_0\text{.}\)
7. Escribir la expansión de serie para\(y\) usar solo el coeficiente desconocido\(a_0\text{.}\) A partir de esto, determinar qué funciones familiares satisfacen la ecuación diferencial (8.6.1). (Pista: Comparar con una serie familiar de Taylor.)

8.6.1 Serie de potencia

Como muestra Preview Activity 8.6.1, puede ser útil tratar una función desconocida como si tuviera una serie Taylor, y luego determinar los coeficientes a partir de otra información. En otras palabras, definimos una función como una serie infinita de potencias de\(x\) y luego determinamos los coeficientes en base a algo además de una fórmula para la función. Este método nos permite aproximar soluciones a muchos tipos diferentes de ecuaciones diferenciales, aunque no podamos resolverlas explícitamente. Esto es diferente a nuestro trabajo con la serie Taylor ya que no estamos utilizando una función original\(f\) para generar los coeficientes de la serie.

Definición 8.6.1: Serie Power

Una serie de potencia centrada en\(x = a\) es una función de la forma

\[ \sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-a)^k\label{ttu}\tag{8.6.2} \]

donde\(\{c_k\}\) es una secuencia de números reales y\(x\) es una variable independiente.

Una serie de potencias define una función\(f\) cuyo dominio es el conjunto de\(x\) valores para los que converge la serie de potencia. Por lo tanto, escribimos

\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-a)^k\text{.} \nonumber \]

Resulta que ¹, en su intervalo de convergencia, cada serie de potencia es de hecho la serie Taylor de la función que define, por lo que todas las técnicas que desarrollamos en la sección anterior también se pueden aplicar a series de potencia.

Ver Ejercicio 8.6.4.4 en esta sección.

Ejemplo 8.6.2

Considere la serie de potencia definida por

\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{2^k}\text{.} \nonumber \]

Qué son\(f(1)\) y\(f\left(\frac{3}{2}\right)\text{?}\) Encuentra una fórmula general para\(f(x)\) y determinar los valores para los que converge esta serie de potencia.

Contestar

Si evaluamos\(f\) en\(x=1\) obtenemos la serie

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} \nonumber \]

que es una serie geométrica con ratio\(\frac{1}{2}\text{.}\) Así podemos sumar esta serie y encontrar que

\[ f(1) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2\text{.} \nonumber \]

Del mismo modo,

\[ f(3/2) = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^k = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = 4\text{.} \nonumber \]

En general,\(f(x)\) se trata de una serie geométrica con relación\(\frac{x}{2}\text{,}\) tan

\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^k = \frac{1}{1-\frac{x}{2}} = \frac{2}{2-x} \nonumber \]

siempre que\(-1 \lt \frac{x}{2} \lt 1\) (lo que asegura que la relación sea inferior a 1 en valor absoluto). Así, la serie de potencia que define\(f(x)=\frac{2}{2-x}\) converge para\(-2 \lt x \lt 2\text{.}\)

Como hicimos para la serie Taylor, definimos el intervalo de convergencia de una serie de potencias (8.6.2) para ser el conjunto de valores\(x\) para los que converge la serie. Y como hicimos con la serie Taylor, normalmente usamos la Prueba de Relación para encontrar los valores de\(x\) para los cuales converge absolutamente la serie de potencia, y luego verificamos los puntos finales por separado si el radio de convergencia es finito.

Ejemplo 8.6.3

Deje\(f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2}\text{.}\) Determinar el intervalo de convergencia de esta serie de potencias.

Contestar

Primero trazaremos algunas de las sumas parciales de esta serie de potencias para hacernos una idea del intervalo de convergencia. Let

\[ S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k^2} \nonumber \]

para cada\(n \geq 1\text{.}\) Figura 8.6.4 muestra gráficas de\(S_{10}(x)\) (en rojo),\(S_{25}(x)\) (en azul) y\(S_{50}(x)\) (en verde).

Figura 8.6.4. Gráficas de algunas sumas parciales de la serie power\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2}\text{.}\)

El comportamiento de\(S_{50}\) en particular sugiere que\(f(x)\) parece estar convergiendo a una curva particular en el intervalo\((-1,1)\text{,}\) mientras crece sin límite fuera de ese intervalo. Así, el intervalo de convergencia podría ser\(-1 \lt x \lt 1\text{.}\) Para verificar nuestra conjetura, aplicamos la Prueba de Relación. Ahora,

\[ a_k = \frac{x^k}{k^2}\text{,} \nonumber \]

por lo

\[\begin{align*} \lim_{k \to \infty} \frac{\left| a_{k+1} \right|}{ \left| a_k \right|} & = \lim_{k \to \infty} \frac{ \frac{|x|^{k+1}}{(k+1)^2} }{ \frac{| x|^{k}}{k^2} }\\[4pt] & = \lim_{k \to \infty} |x| \left(\frac{k}{k+1}\right)^2\\[4pt] & = |x| \lim_{k \to \infty} \left(\frac{k}{k+1}\right)^2\\[4pt] & = |x|\text{.} \end{align*}\]

Por lo tanto, la Prueba de Ratio nos dice que\(f(x)\) converge absolutamente cuando\(| x | \lt 1\) y diverge cuando\(| x | \gt 1\text{.}\) Porque la Prueba de Ratio no es concluyente cuando\(|x| = 1\text{,}\) necesitamos verificar\(x = 1\) e\(x = -1\) individualmente.

Al\(x = 1\text{,}\) observar que

\[ f(1) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\text{.} \nonumber \]

Se trata de una\(p\) -serie con\(p \gt 1\text{,}\) la que sabemos que converge. Cuando\(x = -1\text{,}\) tenemos

\[ f(-1) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}\text{.} \nonumber \]

Se trata de una serie alterna, y dado que la secuencia\(\left\{ \frac{1}{n^2} \right\}\) disminuye a 0, la serie de potencia converge por la Prueba de Serie Alternante. Así, el intervalo de convergencia de esta serie de potencias es\(-1 \le x \le 1\text{.}\)

Actividad 8.6.2

Determinar el intervalo de convergencia de cada serie de potencia.

1. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-1)^k}{3k}\)
2. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} kx^k\)
3. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2(x+1)^k}{4^k}\)
4. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{(2k)!}\)
5. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k!x^k\)

8.6.2 Manipulación de la serie de potencia

Conocemos las expansiones de la serie de potencia para funciones importantes como\(\sin(x)\) y\(e^x\text{.}\) A menudo, podemos usar una expansión de serie de potencia conocida para encontrar una serie de potencia para una función diferente, pero relacionada. La siguiente actividad demuestra una manera de hacerlo.

Actividad 8.6.3

Nuestro objetivo en esta actividad es encontrar una expansión de la serie de potencia\(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\) centrada en\(x=0\text{.}\)

Si bien podríamos usar los métodos de la Sección 8.5 y diferenciarnos\(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\) varias veces para buscar patrones y encontrar la serie Taylor ya\(f(x)\text{,}\) que buscamos un enfoque alternativo por lo complicados que son los derivados de\(f(x)\) rápidamente se vuelven.

1. ¿Para qué sirve la expansión de la serie Taylor\(g(x) = \frac{1}{1-x}\text{?}\) ¿Cuál es el intervalo de convergencia de esta serie?
2. Cómo se\(g(-x^2)\) relaciona con\(f(x)\text{?}\) Explicar, y por lo tanto sustituir\(-x^2\)\(x\) en la expansión de la serie de potencia para\(g(x)\text{.}\) Dada la relación entre\(g(-x^2)\) y\(f(x)\text{,}\) cómo se relaciona la serie resultante con\(f(x)\text{?}\)
3. ¿Para qué valores de\(x\)\(f(x)\) será válida esta expansión de la serie de potencia? ¿Por qué?

En una sección anterior encontramos varias series importantes de Maclaurin y sus intervalos de convergencia. Aquí, enumeramos estas funciones clave y sus correspondientes expansiones.

Nota

\ begin {alinear*}\ sin (x) & =\ sum_ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {(-1) ^k x^ {2k+1}} {(2k+1)!} &\ text {para} &-\ infty\ lt x\ lt\ infty\\ [4pt]\ cos (x) & =\ sum_ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {(-1) ^k x^ {2k}} {(2k)!} &\ texto {para} &-\ infty\ lt x\ lt\ infty\\ [4pt] e^x & =\ sum_ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {x^ {k}} {k!} &\ text {para} &-\ infty\ lt x\ lt\ infty\\ [4pt]\ frac {1} {1-x} & =\ sum_ {k=0} ^ {\ infty} x^k&\ text {para} &-1\ lt x\ lt 1\ end {align*}

Como vimos en la Actividad 8.6.3, podemos usar estas series conocidas para encontrar otras expansiones de series de potencia para funciones relacionadas como\(\sin(x^2)\text{,}\)\(e^{5x^3}\text{,}\) y\(\cos(x^5)\text{.}\)

Actividad 8.6.4

Dejar\(f\) ser la función dada por la expansión de la serie de potencia

\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}\text{.} \nonumber \]

1. Supongamos que podemos diferenciar un término de serie de potencias por término, así como podemos diferenciar un polinomio (finito). Usa el hecho de que
   \[ f(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + \cdots \nonumber \]

   para encontrar una expansión de la serie de potencia para\(f'(x)\text{.}\)

2. Observe eso\(f(x)\) y\(f'(x)\) tenga series familiares de Taylor. ¿Qué funciones familiares son estas? ¿Qué relación conocida demuestra nuestro trabajo?
3. ¿Cuál es la expansión de la serie para\(f''(x)\text{?}\) Qué función familiar es\(f''(x)\text{?}\)

Nuestro trabajo en la Actividad 8.6.3 se sostiene de manera más general. El teorema correspondiente, que no probaremos, establece que podemos diferenciar una serie de potencias para una función\(f\) término por término y obtener la expansión de serie para\(f'\text{,}\) y de manera similar podemos integrar una expansión de serie para una función\(f\) término por término y obtener la expansión de serie para \(\int f(x) \ dx\text{.}\)Para ambos, el radio de convergencia de la serie resultante es el mismo que el original, aunque es posible que el estado de convergencia de las diversas series pueda diferir en los puntos finales. Sigue el enunciado formal del Teorema de Diferenciación e Integración de la Serie Poder.

Teorema de diferenciación e integración de series de potencia

Supongamos que\(f(x)\) tiene una expansión serie de potencia

\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} c_kx^k \nonumber \]

y que la serie converge absolutamente a\(f(x)\) en el intervalo\(-r \lt x \lt r\text{.}\) Entonces, la serie de potencia\(\sum_{k=1}^{\infty} kc_kx^{k-1}\) obtenida al diferenciar la serie de potencia para\(f(x)\) término por término converge absolutamente a\(f'(x)\) en el intervalo Es\(-r \lt x \lt r\text{.}\) decir,

\[ f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} kc_kx^{k-1}, \ \text{for} \ |x| \lt r\text{.} \nonumber \]

De igual manera, la serie de potencia\(\sum_{k=0}^{\infty} c_k\frac{x^{k+1}}{k+1}\) obtenida integrando la serie de\(f(x)\) potencias para término a término converge absolutamente en el intervalo\(-r \lt x \lt r\text{,}\) y

\[ \int f(x) \ dx = \sum_{k=0}^{\infty} c_k\frac{x^{k+1}}{k+1} + C, \ \text{for} \ |x| \lt r\text{.} \nonumber \]

Este teorema valida los pasos que dimos en la Actividad 8.6.4. Nos dice que podemos diferenciar e integrar término por término en el interior del intervalo de convergencia, pero no nos dice qué sucede en los puntos finales de este intervalo. Siempre tenemos que verificar lo que sucede en los puntos finales por separado. Más importante aún, podemos usar el enfoque de diferenciar o integrar una serie término por término para encontrar nuevas series.

Ejemplo 8.6.5

Encuentre una expansión en serie centrada en\(x = 0\) for así\(\arctan(x)\text{,}\) como su intervalo de convergencia.

Contestar

Si bien podríamos diferenciarnos\(\arctan(x)\) repetidamente y buscar patrones en los valores derivados\(x = 0\) en un intento de encontrar la serie Maclaurin para a\(\arctan(x)\) partir de la definición, resulta ser mucho más fácil usar una serie conocida de una manera perspicaz. En la Actividad 8.6.3, encontramos que

\[ \frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{2k} \nonumber \]

para\(-1 \lt x \lt 1\text{.}\) Recordemos que

\[ \frac{d}{dx} \left[ \arctan(x) \right] = \frac{1}{1+x^2}\text{,} \nonumber \]

y por lo tanto

\[ \int \frac{1}{1+x^2} \ dx = \arctan(x) + C\text{.} \nonumber \]

De ello se deduce que podemos integrar la serie por\(\frac{1}{1+x^2}\) término para obtener la expansión de la serie de potencia para\(\arctan(x)\text{.}\) hacerlo, encontramos que

\ begin {align*}\ arctan (x) & =\ int\ izquierda (\ sum_ {k=0} ^ {\ infty} (-1) ^kx^ {2k}\ derecha)\ dx\ [4pt] & =\ suma_ {k=0} ^ {\ infty}\ izquierda (\ int (-1) ^k x^ {2k}\ dx\ derecha)\ [4pt] & =\ izquierda (\ sum_ {k=0} ^ {\ infty} (-1) ^k\ frac {x^ {2k+1}} {2k+1}\ derecha) + C\ texto {.} \ end {alinear*}

El Teorema de Diferenciación e Integración de la Serie de Poder nos dice que esta igualdad es válida para al menos\(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)

Para encontrar el valor de la constante\(C\text{,}\) podemos utilizar el hecho de\(\arctan(0) = 0\text{.}\) que So

\[ 0 = \arctan(0) = \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{0^{2k+1}}{2k+1} \right) + C = C\text{,} \nonumber \]

y debemos tener\(C = 0\text{.}\) Por lo tanto,

\[ \arctan(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\label{Yvk}\tag{8.6.3} \]

por lo menos\(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)

Es un ejercicio sencillo comprobar que la serie power

\[ \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} \nonumber \]

converge tanto cuando\(x = -1\) como cuando\(x = 1\text{;}\) en cada caso, tenemos una serie alterna con términos\(\frac{1}{2k+1}\) que disminuyen a\(0\text{,}\) y por lo tanto el intervalo de convergencia para la expansión de la serie para\(\arctan(x)\) en la Ecuación (8.6.3) es\(-1 \le x \le 1\text{.}\)

Actividad 8.6.5

Encuentre una expansión de serie de potencia para\(\ln(1+x)\) centrada en\(x=0\) y determine su intervalo de convergencia.

8.6.3 Resumen

• Una serie de potencia es una serie de la forma
  \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\text{.} \nonumber \]
• A menudo podemos suponer que una solución a un problema dado puede escribirse como una serie de potencias, luego usar la información en el problema para determinar los coeficientes en la serie de potencia. Este método nos permite aproximar soluciones a ciertos problemas utilizando sumas parciales de la serie de potencias; es decir, podemos encontrar soluciones aproximadas que son polinomios.
• La conexión entre la serie power y la serie Taylor es que son esencialmente lo mismo: en su intervalo de convergencia una serie power es la serie Taylor de su suma.