3.5: Cambio de Variables en Integrales Múltiples
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Dada la dificultad de evaluar múltiples integrales, el lector puede preguntarse si es posible simplificar esas integrales usando una sustitución adecuada para las variables. La respuesta es sí, aunque es un poco más complicado que el método de sustitución que aprendiste en el cálculo de una sola variable.
Recordemos que si se le da, por ejemplo, la integral definitiva
∫21x3√x2−1dx
entonces harías la sustitución
u=x2−1⇒x2=u+1du=2xdx
que cambia los límites de la integración
x=1⇒u=0x=2⇒u=3
para que consigamos
∫21x3√x2−1=∫2112x2⋅2x√x2−1dx=∫3012(u+1)√udu=12∫30(u3/2+u1/2)du, which can be easily integrated to give=14√35
Echemos un vistazo diferente a lo que sucedió cuando hicimos esa sustitución, lo que dará cierta motivación para cómo funciona la sustitución en múltiples integrales. Primero, dejamosu=x2−1. En el intervalo de integración[1,2], la funciónx↦x2−1 es estrictamente creciente (y mapea[1,2] onto [0,3]) y por lo tanto tiene una función inversa (definida en el intervalo[0,3]). Es decir, en[0,3] podemos definirx as a function of u, a saber
x=g(u)=√u+1
Luego sustituyendo esa expresión porx en la funciónf(x)=x3√x2−1 da
f(x)=f(g(u))=(u+1)3/2√u
y vemos que
dxdu=g′(u)⇒dx=g′(u)dudx=12(u+1)−1/2du
así que desde
g(0)=1⇒0=g−1(1)g(3)=2⇒3=g−1(2)
luego realizar la sustitución como hicimos antes da
∫21f(x)dx=∫21x3√x2−1dx=∫3012(u+1)√udu,which can be written as=∫30(u+1)3/2√u⋅12(u+1)−1/2du, which means∫21f(x)dx=∫g−1(2)g−1(1)f(g(u))g′(u)du
En general, six=g(u) es una función uno-a-uno, diferenciable de un intervalo[c,d] (que se puede pensar que está en el “ueje”) a un intervalo[a,b] (en elx eje -), lo que significa queg′(u)≠0 en el intervalo(c,d), así quea=g(c) and b=g(d), then c=g−1(a) and d=g−1(b), y
∫baf(x)dx=∫g−1(b)g−1(a)f(g(u))g′(u)du
Esto se llama fórmula de cambio de variable para integrales de funciones de variable única, y es lo que estabas usando implícitamente al hacer integración por sustitución. Esta fórmula resulta ser un caso especial de una fórmula más general que se puede utilizar para evaluar múltiples integrales. Estableceremos las fórmulas para integrales dobles y triples que involucran funciones de valor real de dos y tres variables, respectivamente. Asumiremos que todas las funciones involucradas son continuamente diferenciables y que las regiones y los sólidos involucrados tienen límites “razonables”. La prueba del siguiente teorema está fuera del alcance del texto.
Teorema3.5.1: Change of Variables Formula for Multiple Integrals
Vamos ax=x(u,v) and y=y(u,v) definir un mapeo uno a uno de una regiónR′ en eluv plano -sobre una regiónR en elxy -plano tal que el determinante
J(u,v)=|∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v|
nunca está enR′. Entonces
∬Rf(x,y)dA(x,y)=∬R′f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dA(u,v)
Utilizamos la notacióndA(x,y) ydA(u,v) para denotar el elemento area en las(x,y) and (u,v) coordenadas, respectivamente.
Del mismo modo, si sex=x(u,v,w),y=y(u,v,w) and z=z(u,v,w) define un mapeo uno a uno de un sólidoS′ enuvw el espacio sobre unS in xyz espacio sólido tal que el determinante
J(u,v,w)=|∂x∂u∂x∂v∂x∂w∂y∂u∂y∂v∂y∂w∂z∂u∂z∂v∂z∂w|
nunca es 0 enS′, entonces
∭Sf(x,y,z)dV(x,y,z)=∭S′f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J(u,v,w)|dV(u,v,w)
El determinanteJ(u,v) en la Ecuación\ ref {Eq3.18} se llama jacobiano dex and y with respect to u and v, y a veces se escribe como
J(u,v)=∂(x,y)∂(u,v)
Del mismo modo, el jacobianoJ(u,v,w) de tres variables a veces se escribe como
J(u,v,w)=∂(x,y,z)∂(u,v,w)
Observe que Ecuación\ ref {Eq3.19} está diciendo esodA(x,y)=|J(u,v)|dA(u,v), que se puede pensar como una versión de dos variables de la relacióndx=g′(u)du en el caso de una sola variable.
El siguiente ejemplo muestra cómo se utiliza la fórmula de cambio de variables.
Ejemplo3.5.1
Evaluar
∬Rex−yx+ydA
dondeR=(x,y):x≥0,y≥0,x+y≤1.
Solución
Primero, tenga en cuenta que evaluar esta doble integral sin usar la sustitución es probablemente imposible, al menos en forma cerrada. Al mirar el numerador y denominador del exponente dee, intentaremos la sustituciónu=x−y and v=x+y. Para usar el cambio de variables Fórmula\ ref {Eq3.19}, necesitamos escribir ambasx and y en términos deu and v. Entonces resolviendo parax and y dax=12(u+v) and y=12(v−u). En la Figura3.5.1 a continuación, vemos cómo el mapeox=x(u,v)=12(u+v),y=y(u,v)=12(v−u) mapea la regiónR′R en una manera uno a uno.

Ahora vemos que
J(u,v)=|∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v|=|1212−1212|=12⇒|J(u,v)|=|12|=12
así que usando rebanadas horizontales enR′, tenemos
∬Rex−yx+ydA=∬R′f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dA=∫10∫v−veu/v12dudv=∫10(v2eu/v|u=vu=−v)dv=∫10v2(e−e1)dv=v24(e−e1)|10=14(e−1e)=e2−14e
La fórmula de cambio de variables se puede utilizar para evaluar integrales dobles en coordenadas polares. Dejar
x=x(r,θ)=rcosθ and y=y(r,θ)=rsinθ,
tenemos
J(u,v)=|∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ|=|cosθ−rsinθsinθrcosθ|=rcos2θ+rsin2θ=r⇒|J(u,v)|=|r|=r
por lo que tenemos la siguiente fórmula:
Doble Integral en Coordenadas Polares
∬Rf(x,y)dxdy=∬R′f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
donde el mapeox=rcosθ,y=rsinθ mapea la regiónR′ en elrθ plano -sobre la regiónR en elxy plano -de una manera uno a uno.
Ejemplo3.5.2: Volume of Paraboloid
Encuentra el volumenV dentro del paraboloidez=x2+y2 for 0≤z≤1
Solución
Usando rebanadas verticales, vemos que
V=∬R(1−z)dA=∬R(1−(x2+y2))dA

dondeR=(x,y):x2+y2≤1 se encuentra el disco de la unidadR2 (ver Figura3.5.2). En coordenadas polares lo(r,θ) sabemosx2+y2=r2 y que el disco unitarioR es el conjuntoR′=(r,θ):0≤r≤1,0≤θ≤2π. Por lo tanto,
V=∫2π0∫10(1−r2)rdrdθ=∫2π0∫10(r−r3)drdθ=∫2πo(r22−r44|r=1r=0)dθ=∫2π014dθ=π2
Ejemplo3.5.3: Volume of Cone
Encuentra el volumenV dentro del conoz=√x2+y2 for 0≤z≤1.
Solución
Usando rebanadas verticales, vemos que
V=∬R(1−z)dA=∬R(1−√x2+y2)dA

dondeR=(x,y):x2+y2≤1 se encuentra el disco de la unidadR2 (ver Figura3.5.3). En coordenadas polares lo(r,θ) sabemos√x2+y2=r y que el disco unitarioR es el conjuntoR′=(r,θ):0≤r≤1,0≤θ≤2π. Por lo tanto,
V=∫2π0∫10(1−r)rdrdθ=∫2π0∫10(r−r2)drdθ=∫2π0(r22−r33|r=1r=0)dθ=∫2π016dθ=π3
De manera similar, se puede demostrar (ver Ejercicios 5-6) que las integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas toman las siguientes formas:
Triple Integral en Coordenadas Cilíndricas
∭Sf(x,y,z)dxdydz=∭S′(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz
donde el mapeox=rcosθ,y=rsinθ,z=z mapea el sólidoS′ en elrθz espacio sobre elS in xyz espacio sólido de una manera uno a uno.
Triple Integral en Coordenadas Esféricas
∭Sf(x,y,z)dxdydz=∭S′f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρdφdθ
donde el mapeox=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ mapea el sólidoS′ enρφθ el espacio sobre el sólidoS en elxyz espacio de una manera uno a uno.
Ejemplo3.5.4
Puesa>0, encuentra el volumenV dentro de la esferaS=x2+y2+z2=a2.
Solución
Vemos queS es el conjuntoρ=a en coordenadas esféricas, entonces
V=∭S1dV=∫2π0∫π0∫a01ρ2sinφdρdφdθ=∫2π0∫π0(ρ33|ρ=aρ=0)sinφdφdθ=∫2π0∫π0a33sinφdφdθ=∫2π0(−a33cosφ|φ=πφ=0)dθ=∫2π02a33dθ=4πa33