2: Triángulos generales

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En la Sección 1.3 vimos cómo resolver un triángulo rectángulo: dados dos lados, o un lado y un ángulo agudo, pudimos encontrar los lados y ángulos restantes. En cada caso en realidad nos dieron tres piezas de información, ya que ya sabíamos que un ángulo era de 90°. Para un triángulo general, que puede tener o no un ángulo recto, nuevamente necesitaremos tres piezas de información. Los cuatro casos son:

Caso 1: Un lado y dos ángulos
Caso 2: Dos lados y un ángulo opuesto
Caso 3: Dos lados y el ángulo entre ellos
Caso 4: Tres lados

Tenga en cuenta que si nos dieran los tres ángulos no podríamos determinar los lados de manera única; por similitud un número infinito de triángulos tienen los mismos ángulos. En este capítulo aprenderemos a resolver un triángulo general en los cuatro casos anteriores. Aunque los métodos descritos funcionarán para triángulos rectos, se utilizan principalmente para resolver triángulos oblicuos, es decir, triángulos que no tienen ángulo recto. Hay dos tipos de triángulos oblicuos: un triángulo agudo tiene todos los ángulos agudos, y un triángulo obtuso tiene un ángulo obtuso. Como veremos, los Casos 1 y 2 pueden resolverse utilizando la ley de los senos, el Caso 3 puede resolverse usando ya sea la ley de los cosenos o la ley de tangentes, y el Caso 4 puede resolverse usando la ley de los cosenos.

2.1: La Ley de los Senos
La Ley de los Sines establece que los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.
2.2: La Ley de los Cosinos
Ahora discutiremos cómo resolver un triángulo donde se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. Utilizaremos la Ley de Cosinos para resolver este problema.
2.3: La Ley de las Tangentes
La Ley de Tangentes es una alternativa a la Ley de Cosinos para los escenarios del Caso 3 (dos lados y el ángulo incluido). Relacionadas con la Ley de Tangentes están las ecuaciones de Mollweide.
2.4: El Área de un Triángulo
En geometría elemental aprendiste que el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Ahora usaremos eso, combinado con alguna trigonometría, para derivar más fórmulas para el área cuando se le den varias partes del triángulo.
2.5: Círculos circunscritos e inscritos
Recordemos de la Ley de los Senos que cualquier triángulo tiene una relación común de lados a senos de ángulos opuestos. Esta relación común tiene un significado geométrico: es el diámetro (es decir, el doble del radio) del círculo único en el que se puede inscribir el trianble, llamado círculo circunscrito del triángulo.
2.E: Triángulos generales (Ejercicios)
Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto “Trigonometría Primaria” de Corral. Se trata de un texto sobre trigonometría elemental, diseñado para estudiantes que han cursado cursos de álgebra y geometría de secundaria. Aunque está diseñado para estudiantes universitarios, también podría usarse en escuelas secundarias. Se cubren los temas tradicionales, pero se toma un enfoque más geométrico de lo habitual. También se discuten algunos métodos numéricos (por ejemplo, el método secante para resolver ecuaciones trigonométricas).

Miniaturas: Si\(C \) es aguda, entonces\(A \) y también\(B \) son agudas. Ya que\(A \le C \), imaginemos que\(A \) está en posición estándar en el plano\(xy\) -coordenada y que giramos el lado terminal de\(A \) sentido antihorario al lado terminal del ángulo mayor\(C \). Si elegimos puntos\((x_{1},y_{1}) \) y\((x_{2},y_{2}) \) en los lados terminales de\(A \) y\(C \), respectivamente, de manera que su distancia al origen sea el mismo número\(r \), entonces vemos en la imagen que\(y_{1} \le y_{2} \).