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1.8: Funciones con valores vectoriales

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ahora que estamos familiarizados con los vectores y sus operaciones, podemos comenzar a discutir funciones cuyos valores son vectores.

    Definición 1.10

    Una función con valor vectorial de una variable real es una regla que asocia un vector\(\textbf{f}(t)\) con un número real\(t\), donde\(t\) está en algún subconjunto\(D\) de\(\mathbb{R}^1\) (llamado dominio de\(f\)). Escribimos f:\(D → \)\(\mathbb{R}^ 3\) para denotar que f es un mapeo de\(D\) en\(\mathbb{R}^ 3\).

    Por ejemplo,\(\textbf{f}(t) = t\textbf{i}+ t^ 2 \textbf{j}+ t^ 3\textbf{k}\) es una función vectorizada en\(\mathbb{R}^ 3\), definida para todos los números reales\(t\). Escribiríamos f:\(\mathbb{R} → \mathbb{R}^ 3\). Al\(t = 1\) valor de la función se encuentra el vector i + j + k, que en coordenadas cartesianas tiene el punto terminal\((1,1,1)\).

    Una función de valor vectorial de una variable real se puede escribir en forma de componente como

    \[\nonumber \textbf{f}(t) = f_1(t)\textbf{i}+ f_2(t)\textbf{j}+ f_3(t)\textbf{k}\]

    o en la forma

    \[\nonumber \textbf{f}(t) = (f_1(t), f_2(t), f_3(t))\]

    para algunas funciones de valor real\(f_1(t), f_2(t), f_3(t)\), llamadas funciones componentes de f. La primera forma se usa a menudo cuando se enfatiza que\(\textbf{f}(t)\) es un vector, y la segunda forma es útil cuando se consideran solo los puntos terminales de los vectores. Al identificar vectores con sus puntos terminales, se puede escribir una curva en el espacio como una función de valor vectorial.

    Ejemplo 1.35

    Definir f:\(\mathbb{R} → \mathbb{R}^ 3\) por\(\textbf{f}(t) = (\cos t,\sin t,t)\). Esta es la ecuación de una hélice (ver Figura 1.8.1). A medida que\(t\) aumenta el valor de, los puntos terminales de\(\textbf{f}(t)\) trazan una curva en espiral hacia arriba. Para cada uno\(t\), las\(x- \text{ and }y-\) coordenadas de\(\textbf{f}(t) \text{ are }x = \cos t \text{ and }y = \sin t\), entonces

    \[\nonumber x^2 + y^ 2 = \cos^2 t+\sin^2 t = 1\]

    Así, la curva se encuentra en la superficie del cilindro circular derecho\(x^ 2 + y^ 2 = 1\).

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    Figura 1.8.1

    Puede ayudar pensar en las funciones vectoriales de una variable real en\(\mathbb{R}^ 3\) como una generalización de las funciones paramétricas en las\(\mathbb{R}^ 2\) que aprendió en el cálculo de una sola variable. Gran parte de la teoría de las funciones de valor real de una sola variable real se puede aplicar a las funciones vectoriales de una variable real. Dado que cada una de las tres funciones componentes son de valor real, a veces será el caso de que los resultados del cálculo de una sola variable simplemente se puedan aplicar a cada una de las funciones componentes para producir un resultado similar para la función de valor vectorial. No obstante, hay momentos en que tales generalizaciones no se mantienen (ver Ejercicio 13). El concepto de límite, sin embargo, se puede extender de forma natural a las funciones de valor vectorial, como en la siguiente definición.

    Definición 1.11

    Dejar\(\textbf{f}(t)\) ser una función con valor vectorial, dejar\(a\) ser un número real y dejar que c sea un vector. Entonces decimos que el límite de\(\textbf{f}(t)\) como se\(t\) acerca\(a\) es igual a c, escrito como\(\lim\limits_{t \to a} \textbf{f}(t) = \textbf{c}\), si\(\lim\limits_{t \to a} \norm{\textbf{f}(t)−\textbf{c}} = 0\). Si\(\textbf{f}(t) = (f_1(t), f_2(t), f_3(t))\), entonces

    \[\nonumber \lim\limits_{t \to a}\textbf{f}(t) = \left ( \lim\limits_{t \to a}f_1(t),\,\lim\limits_{t \to a}f_2(t),\,\lim\limits_{t \to a}f_3(t)\right ) \]

    siempre que existan los tres límites del lado derecho.

    La definición anterior muestra que la continuidad y la derivada de funciones vectoriales también pueden definirse en términos de sus funciones componentes.

    Definición 1.12

    Dejar\(\textbf{f}(t) = (f_1(t), f_2(t), f_3(t))\) ser una función vectorizada, y dejar\(a\) ser un número real en su dominio. Entonces\(\textbf{f}(t)\) es continuo en\(a\) si\(\lim\limits_{t \to a} \textbf{f}(t) = \textbf{f}(a)\). Equivalentemente,\(\textbf{f}(t)\) es continuo en\(a\) si y solo si\(f_1(t), f_2(t), \text{ and }f_3(t)\) son continuos en\(a\).

    La derivada de\(\textbf{f}(t)\) at\(a\), denotada por\(\textbf{f}′(a)\) o\(\dfrac{d\textbf{f}}{ dt} (a)\), es el límite

    \[\nonumber \textbf{f} ′ (a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\textbf{f}(a+ h)−\textbf{f}(a)}{ h}\]

    si ese límite existe. Equivalentemente\(\textbf{f} ′ (a) = (f_1 ′ (a), f_2 ′ (a), f_3 ′ (a))\),, si existen los derivados componentes. Decimos que\(\textbf{f}(t)\) es diferenciable en\(a\) si\(\textbf{f} ′ (a)\) existe.

    Recordemos que la derivada de una función de valor real de una sola variable es un número real, que representa la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función en un punto. Del mismo modo, la derivada de una función de valor vectorial es un vector tangente a la curva en el espacio que representa la función, y se encuentra en la línea tangente a la curva (ver Figura 1.8.2).

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    Figura 1.8.2 Vector tangente\(\textbf{f} ′ (a)\) y línea tangente\(L = \textbf{f}(a)+ s\textbf{f} ′ (a)\)

    Ejemplo 1.36

    Vamos\(\textbf{f}(t) = (\cos t,\sin t,t)\). Entonces\(\textbf{f} ′ (t) = (−\sin t,\cos t,1) \text{ for all }t\). La línea tangente\(L\) a la curva en\(\textbf{f}(2π) = (1,0,2π) \text{ is }L = \textbf{f}(2π)+ s \textbf{f} ′ (2π) = (1,0,2π)+ s(0,1,1)\), o en forma paramétrica:\(x = 1, y = s, z = 2π+ s \text{ for }−∞ < s < ∞\).

    Una función escalar es una función de valor real. Obsérvese que si\(u(t)\) es una función escalar y\(\textbf{f}(t)\) es una función de valor vectorial, entonces su producto, definido por (\(u\textbf{f})(t) = u(t)\textbf{f}(t)\)para todos\(t\), es una función valorada por vector (ya que el producto de un escalar con un vector es un vector).

    Las propiedades básicas de las derivadas de funciones vectoriales se resumen en el siguiente teorema.

    Teorema 1.20

    Dejar\(\textbf{f}(t) \text{ and }\textbf{g}(t)\) ser funciones vectorizadas diferenciables, dejar\(u(t)\) ser una función escalar diferenciable, dejar\(k\) ser un escalar, y dejar que c sea un vector constante. Entonces

    1. \(\dfrac{d}{ dt} (\textbf{c}) = \textbf{0}\)
    2. \(\dfrac{d}{ dt} (k\textbf{f}) = k \dfrac{d\textbf{f}}{ dt}\)
    3. \(\dfrac{d}{ dt} (\textbf{f}+\textbf{g}) = \dfrac{d\textbf{f}}{ dt} + \dfrac{d\textbf{g}}{ dt}\)
    4. \(\dfrac{d}{ dt} (\textbf{f−g}) = \dfrac{d\textbf{f}}{ dt} − \dfrac{d\textbf{g}}{ dt}\)
    5. \(\dfrac{d}{ dt} (u\textbf{f}) = \dfrac{du}{ dt} \textbf{f} + u \dfrac{d\textbf{f}}{ dt}\)
    6. \(\dfrac{d}{ dt} (\textbf{f}· \textbf{g}) = \dfrac{d\textbf{f}}{ dt} · \textbf{g} + \textbf{f}· \dfrac{d\textbf{g}}{ dt}\)
    7. \(\dfrac{d}{ dt} (\textbf{f} × \textbf{g}) = \dfrac{d\textbf{f}}{ dt} × \textbf{g} + \textbf{f} × \dfrac{d\textbf{g}}{ dt}\)

    Prueba

    Las pruebas de las partes (a) - (e) siguen fácilmente diferenciando las funciones de los componentes y usando las reglas para derivadas del cálculo de una sola variable. Demostraremos la parte (f), y dejaremos el comprobante de la parte (g) como ejercicio para el lector.

    (f) Escribir\(\textbf{f}(t) = (f_1(t), f_2(t), f_3(t)) \text{ and }\textbf{g}(t) = (g_1(t), g_2(t), g_3(t))\), donde todas las funciones componentes\(f_1(t), f_2(t), f_3(t), g_1(t), g_2(t), g_3(t)\) son funciones diferenciables de valor real. Entonces

    \[\nonumber \begin{align}\dfrac{d}{dt} (\textbf{f}(t)· \textbf{g}(t))&=\dfrac{d}{ dt} (f_1(t) g_1(t)+ f_2(t) g_2(t)+ f_3(t) g_3(t)) \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{d}{ dt} (f_1(t) g_1(t))+ \dfrac{d}{ dt} (f_2(t) g_2(t))+ \dfrac{d}{ dt} (f_3(t) g_3(t)) \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{d f_1}{ dt} (t) g_1(t)+ f_1(t)\dfrac{ d g_1}{ dt} (t)+ \dfrac{d f_2}{ dt} (t) g_2(t)+ f_2(t) \dfrac{d g_2}{ dt} (t)+ \dfrac{d f_3}{ dt} (t) g_3(t)+ f_3(t) \dfrac{d g_3}{ dt} (t) \\[4pt] \nonumber &=\left ( \dfrac{d f_1}{ dt} (t),\dfrac{d f_2}{ dt} (t), \dfrac{d f_3}{ dt} (t) \right ) · (g_1(t), g_2(t), g_3(t)) \\[4pt] \nonumber &\quad +(f_1(t), f_2(t), f_3(t))· \left ( \dfrac{d g_1}{ dt} (t), \dfrac{d g_2}{ dt} (t), \dfrac{d g_3}{ dt} (t)\right ) \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{d\textbf{f}}{ dt} (t)· \textbf{g}(t) + \textbf{f}(t)· \dfrac{d\textbf{g}}{ dt} (t) \text{ for all }t.\tag{\(\textbf{QED}\)} \\[4pt] \end{align}\]

    \(\square\)

    Ejemplo 1.37

    Supongamos que\(\textbf{f}(t)\) es diferenciable. Encuentra la derivada de\(\norm{\textbf{f}(t)}\).

    Dado que\(\norm{\textbf{f}(t)}\) es una función de valor real de\(t\), entonces por la Regla de Cadena para funciones de valor real, lo sabemos\(\dfrac{d}{ dt} \norm{\textbf{f}(t)}^2 = 2\norm{\textbf{f}(t)} \dfrac{d}{ dt} \norm{\textbf{f}(t)}\).

    Pero\(\norm{\textbf{f}(t)}^ 2 = \textbf{f}(t)·\textbf{f}(t)\), entonces\(\dfrac{d}{ dt} \norm{\textbf{f}(t)}^2 = \dfrac{d}{ dt} (\textbf{f}(t)·\textbf{f}(t))\). Por lo tanto, tenemos

    \[\nonumber \begin{align} 2\norm{\textbf{f}(t)} \dfrac{d}{ dt} \norm{\textbf{f}(t)} &= \dfrac{d}{ dt} (\textbf{f}(t)·\textbf{f}(t)) = \textbf{f} ′ (t)·\textbf{f}(t) + \textbf{f}(t)·\textbf{f} ′ (t)\text{ by Theorem 1.20(f), so} \\[4pt] \nonumber &= 2\textbf{f} ′ (t)·\textbf{f}(t) , \text{ so if }\norm{\textbf{f}(t)} \neq 0 \text{ then} \\[4pt] \nonumber \dfrac{d}{ dt} \norm{\textbf{f}(t)} &= \dfrac{\textbf{f} ′ (t)·\textbf{f}(t)}{ \norm{\textbf{f}(t)}} \\[4pt] \end{align}\]

    Sabemos que\(\norm{\textbf{f}(t)}\) es constante si y sólo si\(\dfrac{d}{ dt} \norm{\textbf{f}(t)} = 0\) por todos\(t\). También,\(\textbf{f}(t) ⊥ \textbf{f} ′ (t) \text{ if and only if }\textbf{f} ′ (t)·\textbf{f}(t) = 0\). Así, el ejemplo anterior muestra este importante hecho:

    Si\(\norm{\textbf{f}(t)} \neq 0, \text{ then }\norm{\textbf{f}(t)} \text{ is constant if and only if }\textbf{f}(t) ⊥ \textbf{f} ′ (t)\text{ for all }t\).

    Esto significa que si una curva se encuentra completamente sobre una esfera (o círculo) centrada en el origen, entonces el vector tangente siempre\(\textbf{f} ′ (t)\) es perpendicular al vector de posición\(\textbf{f}(t)\).

    Ejemplo 1.38

    La espiral esférica\(\textbf{f}(t) = \left ( \dfrac{\cos t}{ \sqrt{ 1+ a^ 2t^ 2}} , \dfrac{\sin t}{ \sqrt{ 1+ a^ 2t^ 2}} , \dfrac{−at}{ \sqrt{ 1+ a^ 2t^ 2}} \right ) \), para\(a \neq 0\).

    La Figura 1.8.3 muestra la gráfica de la curva cuando\(a = 0.2\). En los ejercicios, se le pedirá al lector que demuestre que esta curva se encuentra en la esfera\(x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 1\) y que verifique directamente eso\(\textbf{f} ′ (t)·\textbf{f}(t) = 0 \text{ for all }t\).

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    Figura 1.8.3: Espiral esférico con\(a = 0.2\)

    Al igual que en el cálculo de una sola variable, las derivadas de orden superior de las funciones con valores vectoriales se obtienen diferenciando repetidamente la (primera) derivada de la función:

    \[\nonumber \textbf{f} ′′(t) = \dfrac{d}{ dt} \textbf{f} ′ (t) ,\qquad \textbf{f} ′′′(t) = \dfrac{d}{ dt} \textbf{f} ′′(t) , ... , \dfrac{d^ n \textbf{f}}{ dt^n} = \dfrac{d}{ dt} \left ( \dfrac{d^{n−1}\textbf{f}}{ dt^{n−1}} \right ) \text{ (for \(n = 2,3,4,...\))}\]

    Podemos usar funciones vectoriales para representar cantidades físicas, como velocidad, aceleración, fuerza, impulso, etc. Por ejemplo, dejar que la variable real\(t\) represente el tiempo transcurrido desde algún tiempo inicial (\(t = 0\)), y supongamos que un objeto de masa constante\(m\) está sujeto a alguna fuerza para que se mueva en el espacio, con su posición (\(x, y, z\)) en el tiempo\(t\) una función de\(t\). Es decir,\(x = x(t), y = y(t), z = z(t)\) para algunas funciones de valor real\(x(t), y(t), z(t)\). Llame\(\textbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\) al vector de posición del objeto. Podemos definir varias cantidades físicas asociadas al objeto de la siguiente manera:

    \[\nonumber \begin{align}\textit{position}:\, \textbf{r}(t) &= (x(t), y(t), z(t)) \\[4pt] \nonumber\textit{velocity}:\, \textbf{v}(t) &= \dot{\textbf{r}}(t) = \textbf{r} ′ (t) = \dfrac{d\textbf{r}}{ dt} \\[4pt] \nonumber &= (x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)) \\[4pt] \nonumber \textit{acceleration}:\, \textbf{a}(t) &= \dot{\textbf{v}}(t) = \textbf{v} ′ (t) = \dfrac{d\textbf{v}}{ dt} \\[4pt] \nonumber &=\ddot{\textbf{r}}(t) = \textbf{r} ′′(t) = \dfrac{d^ 2 \textbf{r}}{ dt^2} \\[4pt] \nonumber &=(x ′′(t), y ′′(t), z ′′(t)) \\[4pt] \nonumber \textit{momentum}:\, \textbf{p}(t) &= m\textbf{v}(t) \\[4pt] \nonumber \textit{force}:\, \textbf{F}(t) &= \dot{\textbf{p}} (t) = \textbf{p} ′ (t) = \dfrac{d\textbf{p}}{ dt} \text{ (Newton’s Second Law of Motion)} \\[4pt] \end{align}\]

    La magnitud\(\norm{\textbf{v}(t)}\) del vector de velocidad se llama velocidad del objeto. Tenga en cuenta que dado que la masa\(m\) es una constante, la ecuación de fuerza se vuelve familiar\(\textbf{F}(t) = m\textbf{a}(t)\).

    Ejemplo 1.39

    Dejar\(\textbf{r}(t) = (5\cos t,3\sin t,4\sin t)\) ser el vector de posición de un objeto a la vez\(t ≥ 0\). Encuentra sus vectores (a) de velocidad y (b) de aceleración.

    Solución

    1. \(\textbf{v}(t) = \dot{\textbf{r}}(t) = (−5\sin t,3\cos t,4\cos t)\)
    2. \(\textbf{a}(t) = \dot{\textbf{v}}(t) = (−5\cos t,−3\sin t,−4\sin t)\)

    Tenga en cuenta que\(\norm{\textbf{r}(t)} = \sqrt{ 25\cos^2 t+25\sin^2 t} = 5\) para todos\(t\), así que por Ejemplo 1.37 sabemos eso\(\textbf{r}(t)· \dot{\textbf{r}}(t) = 0 \text{ for all }t\) (que podemos verificar desde la parte (a)). De hecho,\(\norm{\textbf{v}(t)} = 5\) para todos\(t\) también. Y no sólo se\(\textbf{r}(t)\) encuentra sobre la esfera de radio 5 centrada en el origen, sino que quizás no tan obvio es que se encuentra completamente dentro de un círculo de radio 5 centrado en el origen. También, tenga en cuenta que\(\textbf{a}(t) = −\textbf{r}(t)\). Resulta (ver Ejercicio 16) que cada vez que un objeto se mueve en un círculo con velocidad constante, el vector de aceleración apuntará en la dirección opuesta al vector de posición (es decir, hacia el centro del círculo).

    Recordemos de la Sección 1.5 que si\(\textbf{r}_1 , \textbf{r}_2\) son vectores de posición a puntos distintos, entonces\(\textbf{r}_1+t(\textbf{r}_2−\textbf{r}_1)\) representa una línea a través de esos dos puntos, ya que\(t\) varía sobre todos los números reales. Esa suma vectorial se puede escribir como\((1 − t)\textbf{r}_1 + t\textbf{r}_2\). Entonces la función\(\textbf{l}(t) = (1 − t)\textbf{r}_1 + t\textbf{r}_2\) es una línea a través de los puntos terminales de\(\textbf{r}_1 \text{ and }\textbf{r}_2\), y cuando\(t\) se restringe al intervalo\([0,1]\) es el segmento de línea entre los puntos, con\(\textbf{l}(0) = \textbf{r}_1 \text{ and }\textbf{l}(1) = \textbf{r}_2\).

    En general, una función de la forma\(\textbf{f}(t) = (a_1 t+b_1 ,a_2 t+b_2 ,a_3 t+b_3)\) representa una línea en\(\mathbb{R}^ 3\). Una función de la forma\(\textbf{f}(t) = (a_1 t^ 2 + b_1 t + c_1 ,a_2 t^ 2 + b_2 t + c_2 ,a_3 t^ 2 + b_3 t + c_3)\) representa una parábola (posiblemente degenerada) en\(\mathbb{R}^ 3\).

    Ejemplo 1.40: Curvas Bézier

    Las curvas Bézier se utilizan en Diseño Asistido por Computadora (CAD) para aproximar la forma de un camino poligonal en el espacio (llamado polígono Bézier o polígono de control). Por ejemplo, dados tres puntos (o vectores de posición)\(\textbf{b}_0 , \textbf{b}_1 , \textbf{b}_2 \text{ in }\)\(\mathbb{R}^ 3\), definir

    \[\nonumber \begin{align} \textbf{b}_0^1 (t) &= (1− t)\textbf{b}_0 + t\textbf{b}_1 \\[4pt] \nonumber \textbf{b}_1^1 (t) &= (1− t)\textbf{b}_1 + t\textbf{b}_2 \\[4pt] \nonumber \textbf{b}_0^2 (t) &= (1− t)\textbf{b}_0^1 (t)+ t\textbf{b}_1^1 (t) \\[4pt] \nonumber &=(1− t)^2 \textbf{b}_0 +2t(1− t)\textbf{b}_1 + t^2\textbf{b}_2 \\[4pt] \end{align}\]

    para todos los reales\(t\). Porque\(t\) en el intervalo\([0,1]\), vemos que\(\textbf{b}_0^1 (t)\) es el segmento de línea entre\(\textbf{b}_0 \text{ and }\textbf{b}_1\), y\(\textbf{b}_1^1 (t)\) es el segmento de línea entre\(\textbf{b}_1 \text{ and }\textbf{b}_2\). La función\(\textbf{b}_0^2 (t)\) es la curva Bézier para los puntos\(\textbf{b}_0 , \textbf{b}_1 , \textbf{b}_2\). Observe de la última fórmula que la curva es una parábola que pasa por\(\textbf{b}_0\) (cuándo\(t = 0\)) y\(\textbf{b}_2\) (cuándo\(t = 1\)).

    Como ejemplo, vamos\(\textbf{b}_0 = (0,0,0),\, \textbf{b}_1 = (1,2,3), \text{ and }\textbf{b}_2 = (4,5,2)\). Entonces la fórmula explícita para la curva Bézier es\(\textbf{b}_0^2 (t) = (2t +2t^ 2 ,4t + t^ 2 ,6t −4t^ 2 )\), como se muestra en la Figura 1.8.4, donde están los segmentos de línea\(\textbf{b}_0^1 (t)\text{ and }\textbf{b}_1^1 (t)\), y la curva es\(\textbf{b}_0^2 (t)\).

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    Figura 1.8.4 Aproximación de la curva Bézier para tres puntos

    En general, la trayectoria poligonal determinada por puntos\(n ≥ 3\) no colineales en se\(\mathbb{R}^ 3\) puede utilizar para definir la curva Bézier recursivamente mediante un proceso llamado interpolación lineal repetida. Esta curva será una función de valor vectorial cuyos componentes son polinomios de grado\(n − 1\), y su fórmula viene dada por el algoritmo de Casteljau. En los ejercicios, se le dará al lector el algoritmo para el caso de los\(n = 4\) puntos y se le pedirá que escriba la fórmula explícita para la curva Bézier para los cuatro puntos mostrados en la Figura 1.8.5.

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    Figura 1.8.5 Aproximación de la curva Bézier para cuatro puntos

    Colaboradores y Atribuciones


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