1: Vectores en el espacio euclidiano
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En el cálculo vectorial (o multivariable), trataremos funciones de dos o tres variables (generalmente\(x, y\) o\(x, y, z\), respectivamente). El gráfico de una función de dos variables, digamos,\(z = f(x,y)\), se encuentra en el espacio euclidiano, que en el sistema de coordenadas cartesianas consiste en todas las triples ordenadas de números reales\((a, b, c)\). Dado que el espacio euclidiano es tridimensional, lo denotamos por\(\mathbb{R}^{3}\). La gráfica de\(f\) consta de los puntos\((x, y, z) = (x, y, f(x, y))\).
- 1.1: Introducción
- En el cálculo vectorial (o multivariable), trataremos funciones de dos o tres variables (generalmente\(x, y\) o\(x, y, z\), respectivamente). El gráfico de una función de dos variables, digamos,\(z = f(x,y)\), se encuentra en el espacio euclidiano, que en el sistema de coordenadas cartesianas consiste en todas las triples ordenadas de números reales\((a, b, c)\). Dado que el espacio euclidiano es tridimensional, lo denotamos por\(\mathbb{R}^{3}\). La gráfica de\(f\) consta de los puntos\((x, y, z) = (x, y, f(x, y))\).
- 1.2: Álgebra vectorial
- Ahora que sabemos qué son los vectores, podemos comenzar a realizar algunas de las operaciones algebraicas habituales sobre ellos (por ejemplo, suma, resta). Antes de hacer eso, introduciremos la noción de escalar. El término escalar se inventó para transmitir el sentido de algo que podría ser representado por un punto en una escala o regla graduada. La palabra vector proviene del latín, donde significa “portador”. Ejemplos de cantidades escalares son la masa, la carga eléctrica y la velocidad (no la velocidad).
- 1.3: Producto Dot
- Es posible que hayas notado que si bien definimos la multiplicación de un vector por un escalar en la sección anterior sobre álgebra vectorial, no definimos la multiplicación de un vector por un vector. Ahora veremos un tipo de multiplicación de vectores, llamado el producto punto.
- 1.4: Productos cruzados
- En la Sección 1.3 definimos el producto punto, lo que dio una forma de multiplicar dos vectores. El producto resultante, sin embargo, fue un escalar, no un vector. En esta sección definiremos un producto de dos vectores que sí resultan en otro vector. Este producto, llamado el producto cruzado, solo se define para vectores en\(\mathbb{R}^{3}\). La definición puede parecer extraña y carente de motivación, pero veremos en breve las bases geométricas para ello.
- 1.5: Líneas y Planos
- Ahora que sabemos cómo realizar algunas operaciones sobre vectores, podemos empezar a tratar con algunos objetos geométricos familiares, como líneas y planos, en el lenguaje de los vectores. La razón para hacerlo es simple: el uso de vectores facilita el estudio de objetos en el espacio euclidiano tridimensional. Primero consideraremos líneas.
- 1.6: Superficies
- Un plano en el espacio euclidiano es un ejemplo de una superficie, que definiremos informalmente como el conjunto de solución de la ecuación F (x, y, z) =0 en R3, para alguna función de valor real F. Por ejemplo, un plano dado por ax+by+cz+d=0 es el conjunto de solución de F (x, y, z) =0 para la función F (x, y, z) =ax+by+cz+cz+d. Las superficies son 2- dimensional. El plano es la superficie más simple, ya que es “plana”. En esta sección veremos algunas superficies que son más complejas, las más importantes de las cuales son las esferas y los cilindros
- 1.7: Coordenadas curvilíneas
- Los dos tipos de coordenadas curvilíneas que consideraremos son coordenadas cilíndricas y esféricas. En lugar de hacer referencia a un punto en términos de lados de un paralelepípedo rectangular, como ocurre con las coordenadas cartesianas, pensaremos que el punto está acostado sobre un cilindro o esfera. Las coordenadas cilíndricas se utilizan a menudo cuando hay simetría alrededor del\(z\) eje; las coordenadas esféricas son útiles cuando hay simetría sobre el origen.
- 1.8: Funciones con valores vectoriales
- Una función con valor vectorial de una variable real es una regla que asocia un vector\(\textbf{f}(t)\) con un número real\(t\), donde\(t\) está en algún subconjunto\(D\) de\(\mathbb{R}^1\) (llamado dominio de\(f\)). Escribimos f:\(D → \)\(\mathbb{R}^ 3\) para denotar que f es un mapeo de\(D\) en\(\mathbb{R}^ 3\).
- 1.9: Longitud del arco
- Una curva puede tener muchas parametrizaciones, con diferentes velocidades, entonces ¿cuál es la mejor para usar? En algunas situaciones la parametrización de la longitud del arco puede ser útil. La idea detrás de esto es reemplazar el parámetro\(t\), para cualquier parametrización suave dada\(\textbf{f}(t)\) definida en\([a,b]\), por un nuevo parámetro\(s\).
- 1.E: Vectores en el espacio euclidiano (Ejercicios)
- Problemas y soluciones selectas al capítulo.
Colaboradores y Atribuciones
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Thumbnail: Illustration of the Cartesian coordinate system for 3D. (Public Domain; Jorge Stolfi).